Condiciones necesarias y suficientes para $f=0$ .

Question

Asumimos el siguiente teorema:

Teorema: Dejemos que $G$ sea un conjunto abierto conectado y $f:G\to\mathbb{C}$ sea una función analítica. Entonces las siguientes son afirmaciones equivalentes:

• $f=0$ .
• Hay $a\in G$ tal que $f^{(n)}(a)=0$ para cada $n\ge 0$ .
• $\{z\in G:f(z)=0\}$ tiene un punto límite en $G$ .

Me gustaría mostrar que en realidad debemos asumir $G$ para ser conectado en el teorema. En caso contrario, es falso.

¿Puede alguien ayudarme a encontrar un ejemplo? He pensado en algunas funciones elementales pero no funciona.

Gracias.

Answer 1

Considere los conjuntos $A = \{z:|z|< 1\}$ y $B = \{z:2< |z|< 3\}$ y definir $f:A\cup B\to\Bbb C$ por $$f(z)=\begin{cases}0,&z\in A\\1,&z\in B\end{cases}$$

Answer 2

Puedes tomar dos conjuntos abiertos disjuntos, $A$ y $B$ . En uno, dejas que $f$ ser idéntico a cero, y por otro, se hace otra cosa. Dado que "analítico" es una propiedad local, la forma $f$ actúa sobre un conjunto no tiene absolutamente ninguna relación con la forma en que actúa sobre un componente desconectado y puede definir su función a trozos.

Cabe destacar que la aplicación de las funciones familiares no funcionará aquí - debe ser que $f$ es analítico en $A\cup B$ pero no en $\mathbb C$ (ya que el teorema implicaría entonces que era idénticamente cero en $\mathbb C$ ). Por lo tanto, será más o menos necesaria una definición por partes. Ciertamente, no funcionará ninguna función que habitualmente se considere elemental, ni tampoco ninguna composición de tales funciones.