Aplicación correcta de la hipótesis inductiva

Question

Para contextualizar completamente la pregunta de la práctica que estoy intentando, es la siguiente:

Para todo número entero n tal que n 8, existen enteros no negativos a _n y b _n tal que 3a _n + 5b _n \= n.

Escriba una prueba de la afirmación utilizando la forma fuerte de la inducción matemática con el entero 10 como punto de ruptura - de tal manera que n = 8, n = 9 y n = 10 serían considerados en la base.

Este es mi intento de prueba, pero no consigo pasar de la aplicación de la H.I. para alcanzar mi objetivo en el paso inductivo.

Base
Si n = 8, entonces 3a ₈ + 5b ₈ \= 8
Si n = 9, entonces 3a ₉ + 5b ₉ \= 9
Si n = 10, entonces 3a ₁₀ + 5b ₁₀ \= 10

Hipótesis inductiva
Sea k un número entero tal que k 10. Es necesario y suficiente utilizar lo siguiente:

• Hipótesis inductiva: 3a _n + 5b _n \= n para todo número entero n tal que 8 n k.

Demanda inductiva
3a _{k+1 + 5bk+1} \= k+1

Ahora tengo que completar el resto de la prueba pero ni siquiera estoy seguro de si la estaba probando correctamente hasta ahora o cómo completarla desde donde estoy.

Se agradece cualquier orientación.

Answer 1

Tenga en cuenta que, en particular, hay $a_{k-2}$ y $b_{k-2}$ tal que $3a_{k-2} + 5b_{k-2} = k-2$ . Ahora añade $3$ a ambas partes.

Answer 2

Para el paso, ver la respuesta de @user3482749

Pero además del paso inductivo, también hay que demostrar que se pueden encontrar valores reales para $a_n$ y $b_n$ ¡(y los otros) en sus casos base para asegurarse de que estos funcionan!

Por ejemplo, para satisfacer esa $3a_8+5b_8=8$ puede establecer $a_8=1$ y $b_8=1$

Ahora hazlo también para los otros casos base