Convexidad de $ t \mapsto \log \left[ \int_0^1 f^{pt} g^{q(1-t)} dx \right] $

Question

Dejemos que $f,g \geq 0$ sean funciones acotadas y medibles sobre $[0,1].$ De verdad $p,q>0$ avec $p^{-1}+q^{-1} = 1$ Quiero demostrar la convexidad de

$$ h(t) = \log \left[ \int_0^1 f^{pt} g^{q(1-t)} dx \right].$$

Si consideramos $\lambda \in (0,1)$ , entonces podemos encontrar

$$ h(\lambda t + (1-\lambda)s) = \log \left[\int_0^1 \left(f^{pt}g^{q(1-t)} \right)^\lambda \left( f^{ps}g^{q(1-s)} \right)^{1-\lambda} dx \right], $$

que parece que podría ser útil, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Sustituir $k=\frac{1}{\lambda} , m=\frac{1}{1-\lambda}$ entonces $k^{-1} +m^{-1} =\lambda +(1-\lambda )=1$ así que por la desigualdad de Holder obtenemos $$e^{h(\lambda t + (1-\lambda)s)} = \int_0^1 \left(f^{pt}g^{q(1-t)} \right)^\lambda \left( f^{ps}g^{q(1-s)} \right)^{1-\lambda} dx \leq \left(\int_0^1 \left(f^{pt}g^{q(1-t)} \right)^{\lambda \cdot k} dx\right)^\frac{1}{k} \cdot \left(\int_0^1 \left( f^{ps}g^{q(1-s)} \right)^{(1-\lambda)\cdot m} dx\right)^\frac{1}{m} = \left(\int_0^1 f^{pt}g^{q(1-t)} dx\right)^\lambda \cdot \left(\int_0^1 f^{ps}g^{q(1-s)} dx\right)^{1-\lambda} =e^{\lambda h(t) +(1-\lambda )h(s)}$$ por lo que $$h(\lambda t +(1-\lambda) s)\leq \lambda h(t) +(1-\lambda )h(s).$$