Mi hermano me estaba enseñando los fundamentos de las matemáticas y tuvimos una confusión sobre el comportamiento positivo y negativo del Cero. Después de leer algunos post sobre esto llegamos a saber que depende del contexto de su uso.
¿Por qué tomamos 1/0 como infinito positivo en lugar de infinito negativo (nos acercamos a cero desde el eje negativo)?
Depende del contexto. Cuando se trata de funciones racionales o trigonométricas, puede tener sentido tratar con una recta $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ en el que un "barrio de $\infty$ " es un conjunto que se parece a $(-\infty, a)\cup(b,\infty)$ por lo que la línea se convierte topológicamente en un círculo; los dos extremos se encuentran en $\infty$ . Un punto de vista similar es el que se utiliza cuando se estudian las funciones de una variable compleja, y se está añadiendo sólo una $\infty$ al avión $\mathbb{C}$ . Es en este tipo de contexto donde tiene sentido decir que $1/0$ o $5/0$ etc., es $\infty$ .
Hasta donde yo sé, cuando se hace matemática en coma flotante en la mayoría de los ordenadores y en la mayoría de los lenguajes informáticos, 1,0/0,0 dará como resultado un infinito positivo (-1,0/0,0 dará como resultado un infinito negativo). Creo que esta cuestión depende en gran medida del contexto y del uso.
Como no lo he visto en los comentarios : en el contexto de los números complejos, se puede tener $1/0 = \infty$ sin este problema, con la convención de que $\infty = - \infty ( = \lambda \infty$ para todos $\lambda \neq 0$ ).
Aquí "acercarse a $\infty$ " significa hacerse muy grande en módulo, sin importar la dirección (incluyendo, pero no exclusivamente, las dos direcciones del eje real). Esto es útil, por ejemplo, cuando se consideran fracciones racionales : siempre admiten un límite en $\infty$ y tomar valores en $\mathbb{C} \cup \infty$ .
Por supuesto, esto también está fuertemente ligado a la geometría proyectiva, ya que $\mathbb{C} \cup \infty \approx \mathbb{P_1}(\mathbb{C})$ .
En primer lugar, en el sistema convencional de números reales, la expresión $\frac{1}{0}$ se considera como indefinido, es decir, tiene ningún valor . El "infinito" no existe en los números reales. $0$ no está en el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ .
Hay una buena razón por la que no está definida: la función $f(x) = \frac{1}{x}$ suele entenderse como "dame la inversa multiplicativa de $x$ ", pero $0$ carece de un inverso multiplicativo. Esto es fácil de ver. La función $f(x) = 0x$ es totalmente no inyectiva -- hay ningún subconjunto de $\mathbb{R}$ que contiene más de un punto en la que es inyectiva. Perdemos todo información sobre lo que $x$ fue cuando lo pusimos ahí. Entonces, ¿cómo podemos esperar tener un valor que nos permita invertirlo?
Dicho esto, hay son contextos en los que podemos tomar $\frac{1}{x}$ para representar algo más general, y donde $\frac{1}{0}$ puede ser significativo. Un ejemplo de ello, en el que podemos decir $\frac{1}{0} = \infty$ es la línea proyectiva real y su equivalente complejo, la esfera de Riemann. En este caso, el infinito es sin signo Es decir, $-\infty = +\infty$ . Si optamos por utilizar un sistema generalizado de "números" que incluya $-\infty$ y $+\infty$ como elementos separados, entonces normalmente seguimos sin definir $\frac{1}{0}$ porque $\frac{1}{x}$ se acerca a $-\infty$ como $x$ se acerca a $0$ de la izquierda y $+\infty$ a medida que se acerca $0$ de la derecha. Podríamos tomarlo como uno o el otro si quisiéramos pero la elección sería arbitraria.
Una gran advertencia de estos sistemas es que las leyes de la aritmética serán diferentes en ellos. Por ejemplo, en el mencionado RPL, las advertencias se producen cuando se trata de expresiones que implican infinitos.
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