Mi hermano me estaba enseñando los fundamentos de las matemáticas y tuvimos una confusión sobre el comportamiento positivo y negativo del Cero. Después de leer algunos post sobre esto llegamos a saber que depende del contexto de su uso.
¿Por qué tomamos 1/0 como infinito positivo en lugar de infinito negativo (nos acercamos a cero desde el eje negativo)?
Los demás comentarios son correctos: $\frac{1}{0}$ es indefinido. Del mismo modo, el límite de $\frac{1}{x}$ como $x$ se acerca a $0$ también es indefinido. Sin embargo, si se toma el límite de $\frac{1}{x}$ como $x$ se acerca a cero desde el a la izquierda o del a la derecha se obtiene el infinito negativo y positivo respectivamente.
El lugar donde normalmente se ve $1 {\color{red}/} 0 = \infty$ es cuando se hace aritmética en la línea proyectiva. (He añadido color a ${\color{red}/}$ para distinguirla mejor de la operación de división ordinaria en los números reales) La operación binaria ${\color{red}/}$ se define para cada par de números reales proyectivos excepto $(0,0)$ y $(\infty, \infty)$ :
donde $x,y$ denotan números reales ordinarios. (también se pueden definir las demás operaciones aritméticas)
La línea proyectiva sólo tiene un elemento infinito. En la línea proyectiva, el mismo número $\infty$ está en los dos "extremos" de la línea ordinaria. Hay otro sistema numérico común -- los números reales extendidos -- que tiene dos elementos infinitos: $+\infty$ y $-\infty$ . Tenga en cuenta que $1 {\color{cyan}/} 0$ es indefinido para la aritmética de los números reales extendidos. (donde de nuevo he añadido color para distinguir)
Por desgracia, la gente suele utilizar $\infty$ en lugar de $+\infty$ . Así, cuando alguien escribe $\infty$ En este caso, puede no estar claro si están haciendo aritmética en la recta real proyectiva o en la recta real extendida.
Y, para que quede claro, $1/0$ también es indefinido.
Ya que tienes esta confusión, creo que ayuda considerar los conceptos de cero, infinito e "indefinido".
En el sentido más básico, la división es lo contrario de la multiplicación. Así, el hecho de que 2 x 3 = 6 implica que 6 / 3 = 2.
1 x 0 = 0. Aplicando la lógica anterior, 0 / 0 = 1. Sin embargo, 2 x 0 = 0, por lo que 0 / 0 también debe ser 2. De hecho, ¡parece que 0 / 0 podría ser cualquier número! Obviamente, esto no tiene sentido: decimos que 0 / 0 es "indefinido" porque no hay realmente una respuesta.
Del mismo modo, 1 / 0 no es realmente infinito. El infinito no es realmente un número, es más bien un concepto. Si piensas en cómo se describe la división en las escuelas, por ejemplo, el número de caramelos que se reparten entre varias personas, verás la confusión. Si voy alrededor de algunas personas dándoles 0 caramelos a cada una, ¿cuántas personas tengo que rodear hasta que haya repartido mi 1 caramelo? ¿Un número infinito? Más o menos, porque puedo seguir dando vueltas infinitamente. Sin embargo, yo nunca regalar ese caramelo . Por eso se dice que 1 / 0 "tiende" al infinito - realmente no podemos usar el infinito como número, sólo podemos imaginar a qué nos acercamos a medida que nos movemos en el dirección del infinito. Sin embargo, en este caso, el número de caramelos que tengo nunca cambia, por lo que no me estoy acercando a ninguna parte. Incluso esta lógica no funciona realmente.
La conclusión es que 1 / 0 no tiene sentido como cálculo. Cuando utilizamos la noción de infinito, tendemos a utilizar el infinito positivo cuando no importa, por pura convención. Sin embargo, si se piensa demasiado en ello se empieza a entrar en la filosofía y en otras cosas, como "qué es lo que realmente es infinito?" y "espera, ¿qué es un número "?
Las cosas de las que habla la gente en las que sí lo hace son diferentes formas de utilizar los números, por lo que no cuentan realmente. Por ejemplo, en el anillo trivial, sólo hay un número, que funciona como un 0 (se suma a cualquier cosa y se obtiene esa cosa) y un 1 (se multiplica por cualquier cosa y se obtiene la misma cosa de nuevo) y tiene sentido porque sólo puedes sumarlo o multiplicarlo por sí mismo para obtenerlo. En realidad es bastante aburrido, pero en ese caso este número -llamémoslo x- es tanto 0 como 1, así que 1 / 0 = x / x = x porque todo es igual a x. Como puedes ver, esto es un poco tramposo porque ni siquiera tenemos suficientes números para tener una noción de 1 / 0 en la forma en que lo estás pensando.
En el cálculo a veces escribimos
$$\frac{1}{0_+}=+\infty \,,$$ $$\frac{1}{0_-}=-\infty \,,$$
Esta notación hace que $\frac{1}{0}$ a veces $+\infty$ y a veces $-\infty$ pero hay que tener cuidado con lo que significa. No significa literalmente $\frac{1}{0}$ su significado real en el Cálculo es
un límite del tipo $\frac{f(x)}{g(x)}$ , donde $\lim f(x) =1$ y $\lim g(x)=0$ .
Mientras escribía $\frac{1}{0}$ es mucho más cómodo que escribir esa expresión, tiene el inconveniente de que mucha gente lo toma como un significado literario $1$ dividido por $0$ .
A veces en el cálculo $\frac{1}{0}$ es $+\infty$ A veces es $-\infty$ y a veces no existe. Pero mientras el significado está de alguna manera cerrado a la idea de $\frac{1}{0}$ , en el cálculo $\frac{1}{0}$ significa algo más que la división.
Después de leer algunos post sobre esto llegamos a saber que depende del contexto de su uso.
En realidad lo que ocurre es más sutil. En dos áreas diferentes de las matemáticas se utiliza esa notación para denotar dos cosas diferentes. Cuando se dice $\frac{1}{0}$ Si te refieres a la división estándar de los números reales, entonces eso no está definido, no importa cuál sea el contexto...
En realidad, hay muchas situaciones en las que el uso desafortunado de la misma notación/definición para cosas diferentes crea confusión....
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