Demostrar sin inducción que la secuencia $a_{n}=1+\frac{1}{a_{n-1}}$ $=$ $\frac{F_{n+3}}{F_{n+2}}$ avec $a_1=2$ donde $F_n$ es la secuencia de Fibonacci

Question

Al tratar de demostrar que la secuencia $a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}$ avec $a_1=2$ converge a Phi(la segunda secuencia obviamente converge a Phi), reconocí el patrón cuando calculé el primer par de términos.

Lo demostré con inducción pero no encuentro otra forma de demostrar la equivalencia. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Exigimos $a_n = \frac{p_n}{q_n}$ avec $\gcd(p_n, q_n) = 1$ y $q_n \geq 1$ Esto es inequívoco, estamos escribiendo la fracción en términos mínimos.

Siguiente, $$ p_{n+1} = p_n + q_n \; , \; \; \; q_{n+1} = p_n $$ en la que podemos confirmar que el nuevo denominador y el denominador son coprimos.

Finalmente $$ p_{n+2} = 2 p_n + q_n= p_n + (p_n + q_n) = p_n + p_{n+1} \; . \; \; $$

junto con $$ q_{n+2} = p_n + q_n = q_{n+1} + q_n $$

Esta es la recurrencia conocida para los números de Fibonacci o Lucas. Se puede terminar encontrando las fracciones explícitas que muestran $p_1, p_2, p_3 .$ Al parecer, $a_1 = 2 = \frac{2}{1}$ y $a_2 = \frac{3}{2}$ y $a_3 = \frac{5}{3}.$

Para obtener los números de Lucas, comience con $a_1 =3$

Obsérvese que las recurrencias $ p_{n+2} = p_{n+1} + p_n $ y $ q_{n+2} = q_{n+1} + q_n $ son sólo Cayley Hamilton para

$$ \left( \begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{array} \right) $$