Problemas para entender una prueba de análisis.

Question

Actualmente estoy estudiando la siguiente prueba, que puede encontrarse en este artículo (página 12):

Sin embargo, tengo dificultades para entender bien algunos de los pasos. Estas son mis preguntas:

1. ¿Por qué es posible decir que "existe un número entero $N$ y $\alpha > 0$ tal que $\Sigma_n(x) \leq n^{1 - \alpha}$ para todos $n \geq N$ "?
2. ¿Cómo se integra la ${f_n}^{\prime} \geq n^{\alpha} f_n$ entre $x^{\prime}$ y $x$ me da que $f_n(x^{\prime}) \leq M e^{-\delta n^{\alpha}}$ para todos $n \geq N$ ? La misma pregunta se aplica a la integración de ${f_n}^{\prime} \geq \frac{n}{\Sigma}f_n$ entre $x^{\prime}$ y $x$ .
3. ¿Por qué " $T_n(x)$ convergen a $f(x)$ como $n$ tiende al infinito"? ¿Y por qué esto implica que $f(x) - f(x^{\prime}) \geq (x - x^{\prime}) \left(\limsup_{n \rightarrow +\infty}\frac{\ln\Sigma_n(x^{\prime})}{\ln(n)}\right)$ ?

EDITAR:

Pregunta 1 sigue sin resolverse.

Pregunta 2 se responde fácilmente al observar que $\frac{f_n^{\prime}}{f_n} = \left(\ln f_n\right)^{\prime}$ para ambos casos.

La segunda parte de la pregunta 3 puede responderse aplicando $\limsup$ en ambos lados de la desigualdad dada; sin embargo, la primera parte sigue sin resolverse . ¿Por qué $T_n(x)$ convergen a $f(x)$ como $n$ tiende al infinito?

Gracias de antemano.

Answer 1

(1) $x < x_1$ por lo que por la definición de inf, $\limsup_{n \to \infty} \frac{\log\Sigma_n(x)}{\log n} < 1$ , llama a la limsup $1-2\alpha$ para $\alpha > 0$ . Entonces hay un poco de $N$ de modo que para todos $n \ge N$ , $\frac{\log \Sigma_n(x)}{\log n} \le (1-2\alpha)+\alpha = 1-\alpha$ . En otras palabras, hay algo de $N$ de manera que para todos $n \ge N$ , $\Sigma_n(x) \le n^{1-\alpha}$ .

(3) parte 1: Basta con demostrar la siguiente afirmación general: Sea $(a_n)_n$ sea una secuencia de números reales tal que $a_n \to a$ . Entonces $\frac{1}{\log n}\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{i} \to a$ . A continuación, una pista.

$a_n \approx a$ para grandes $n$ Así que $\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{i} \approx \sum_{i=1}^n \frac{a}{i} \approx a\log n$ .