Finito no abeliano $G$ tal que $O(g) \subseteq Z(G)g, \forall g \in G$

Question

¿Existe algún grupo finito no abeliano $G$ tal que:

$$O(g) \subseteq Z(G)g, \forall g \in G \tag 1$$

donde $O(g)$ es la órbita "por $g$ "de la acción natural de $\operatorname{Aut}(G)$ en $G$ , a saber $\sigma \cdot g := \sigma(g)$ ?

Answer 1

Hay tres clases (de isomorfismo) de grupos de orden 64 con esta propiedad, que son $\mathtt{SmallGroup}(64,i)$ avec $i=68,69,116$ en la base de datos de grupos pequeños.

Todos ellos tienen subgrupo conmutador $[G,G] \cong C_2 \times C_2$ avec $G/[G,G] \cong C_2 \times C_2 \times C_4$ . Los dos primeros tienen $Z(G) \cong C_2^3$ y grupos de automorfismo de orden $512$ y el tercero tiene $Z(G) \cong C_2 \times C_4$ y grupo de automorfismo de orden $128$ .