La derivada 7ª de $ x^3 \cdot\tan(2x) $ ¿es esto correcto?

Question

Tengo que encontrar $y^{(7)}\left(0\right)$ de $y(x)=x^3\cdot\tan{(2x)}$

Así que mi idea era utilizar la expansión de Taylor para $\tan(2x)$ a la $7$ -ésimo elemento y luego multiplicar lo del agujero por $x^3 $ y luego reemplazar $x$ con $ 0$ ya que $ x^3$ no es 7 veces diferenciable. Mi pregunta es si esto está permitido y, en caso afirmativo, cuándo y cómo. Si no es así, ¿alguna idea de una forma fácil de hacerlo?

Answer 1

Hin: Tenga en cuenta que $\tan(2x)$ es un impar al igual que $x^3$ , por lo que el producto es una función par.

Observación: La idea general de su procedimiento también funcionará. Tenga en cuenta que sólo necesita encontrar la expansión de $\tan(2x)$ hasta el plazo en $x^4$ ya que multiplicamos la expansión de $\tan(2x)$ término por término por $x^3$ . Y realmente sólo necesitas el $x^4$ término, lo que nos lleva de nuevo a la insinuación.

Encontrar la expansión mediante el uso repetido de la regla del producto es más complicado.

Por cierto, $x^3$ es diferenciable con frecuencia arbitraria, lo que ocurre es que las derivadas después de un tiempo son muy poco interesantes.