Ayuda con la prueba de la cerrazón de un conjunto

Question

Dejemos que $u_n$ sea una secuencia en el espacio de Hilbert tal que $\|u_n\|=1$ para todos $n$ y $\langle u_n|u_m\rangle=0$ siempre que $n\neq m$ . Por qué está cerrado el siguiente conjunto: $\{0\}\cup \{u_n \mid n\geq 1\}$ ? ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $\| u_n-u_m\|=\sqrt{2}$ .

Así, para dos puntos cualesquiera $x$ , $y$ de su conjunto $S=\{0\}\cup\{u_n; n\ge 1\}$ tienes $$x\ne y \Rightarrow \|x-y\|\ge1.$$

Por lo tanto, cada punto de $S$ es un punto aislado .

Si $x_n$ es una secuencia convergente de puntos de $S$ entonces $x_n$ debe ser finalmente constante. (De lo contrario, no sería Cauchy.) Así que converge a algún punto de $S$ .