Para demostrar $P(a \leq \textbf{X} \leq b) = f(a) + F(b) - F(a)$ donde $f$ y $F$ son la pdf y la cdf respectivamente de la variable aleatoria X.

Question

Supongamos que X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad $f$ y la función de densidad acumulada $F$ . Demostrar que $$P(a \leq \textbf{X} \leq b) = f(a) + F(b) - F(a)$$

$$F(x)=P(\textbf{X} \leq x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt$$

$$\begin{align} P(a \leq \textbf{X} \leq b) & =P(\textbf{X} \leq b)-P(\textbf{X} <a)\\ & = F(b) - \lim\limits_{x \to a^-} F(x) \end{align}$$

Así que si puedo demostrar que $\lim\limits_{x \to a^-} F(x)= F(a)-f(a)$ He terminado. Pero parece que estoy atrapado aquí.

Answer 1

Según la definición de $F(x)$ tienes $\Pr(X \le a)=F(a)$ y $\Pr(X \le b)=F(b)$

por lo que si $a \le b$ entonces $$\Pr(a \lt X \le b) =F(b)-F(a) $$

que se acerca a lo que usted quiere, aunque excluye la posibilidad $X=a$ . Eso no es un problema si $\Pr(X=a)=0$ por ejemplo, cuando $X$ es una variable aleatoria continua, pero para completar se tiene $$\Pr(a \le X \le b) =\Pr(X=a)+ \Pr(a \lt X \le b)$$ $$\qquad\qquad\qquad=\Pr(X=a) +F(b)-F(a)$$

y si $X$ es una variable aleatoria discreta con probabilidad masa función $f(x)=\Pr(X=x)$ entonces esto se convertiría en $f(a) +F(b)-F(a)$ . Su pregunta dice que la probabilidad densidad en cuyo caso se volvería al caso de la variable aleatoria continua y la afirmación original sería incorrecta

Answer 2

Bien, la función de distribución acumulativa se define como

$F(x_i) = P(X \leq x_i) = f(1) + f(2) + ... + f(x_i)$

¿Pero qué ocurre si queremos la función de distribución acumulativa, dentro de un rango?

Por ejemplo, tengo esta función de distribución acumulativa

$F(x_n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) ... f(x_n)$

Y quiero la función de distribución acumulativa entre $(2, 5]$

Así que voy a hacer esto:

$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) - f(1) - f(2) => f(3) + f(4) + f(5) $ qué es lo que busca.

Ver que $f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = F(5)$ y $f(1) + f(2) = F(2)$

Así que eso es igual a $F(5) - F(2) = P(2 < X \leq 5)$ .

Pero, ¿qué ocurre si quiero incluir el intervalo inferior?

Es fácil ver eso: $F(5) -F(2) = f(3) + f(4) + f(5)$ y quiero añadir el intervalo inferior que es sólo un elemento, por lo que es igual a $f(2)$ es decir, la función de probabilidad. Así que en general para encontrar la función de distribución acumulativa entre $[a,b ]$ es decir $P([a,b]) = F(b) - F(a) + f(a)$ con $b > a$