Puntos de equilibrio no aislados y el principio de invariabilidad de Lasalle

Question

¡Hola!

Digamos que tenemos un sistema dinámico descrito por

$\dot{x} = f(x)$ ,

donde f es una función no lineal, que tiene varias equilibrios. Supongamos que hemos encontrado una función diferenciable de Liapunov V tal que

$\dot{V} = 0 \Rightarrow \dot{x} = 0$ .

Entonces, suponiendo que V es radialmente inabarcable, por la ley de LaSalle deberíamos poder decir que el sistema siempre converge a un punto de equilibrio. Sin embargo, en algunos trabajos he visto el requisito adicional de que para demostrar la convergencia todos los puntos de equilibrio deben estar aislados, de lo contrario el sistema podría moverse indefinidamente dentro de un conjunto conectado de puntos de equilibrio. ¿Puede ser ese el caso de la situación descrita anteriormente? ¿No es cierto que $\dot{x} = 0$ significa que el sistema se ha "parado" (suponiendo que $x$ describe completamente el estado del sistema)? Me parece que en mi caso, la suposición sobre los equilibrios aislados es innecesaria.

Saludos cordiales
Olav

Answer 1

Para ilustrar la respuesta de Michael, tomemos el sistema $$\dot x=(1-x^2-y^2)x-zy,\qquad \dot y=(1-x^2-y^2)y+zx,\qquad \dot z=-z^2.$$ En coordenadas cilíndricas, escribe $$\dot r=(1-r^2)r,\qquad\dot\theta=z,\qquad \dot z=-z^2.$$ La primera ecuación dice que $r(t)\rightarrow1$ como $t\rightarrow+\infty$ . Además, $$z(t)=\frac{z_0}{1+tz_0}.$$ Si $z(0)=z_0$ es positiva, la trayectoria está definida para todo $t>0$ y $\dot\theta$ no es integrable en $+\infty$ para que la solución gire infinitas veces hacia el círculo unitario.

A petición de Didier . aquí hay un ejemplo similar, en el plano. Tomemos dos funciones $r\mapsto h(r),k(r)$ . Considere el sistema $$\dot r=h(r),\qquad \dot\theta=k(r),$$ que reescribe $$\dot x=\frac{h(r)}{r}x-k(r)y,\qquad\dot y=\frac{h(r)}{r}y+k(r)x.$$ Supongamos que $(r-1)h(r)<0$ para $r\ne 0,1$ . Entonces se tiene una función de Lyapunov $V(r)$ , mínimo en $r=1$ . El resto de puntos forman el círculo $\{r=1\}$ . Si $h$ es lo suficientemente plana en $r=1$ la convergencia $r\rightarrow1$ como $t\rightarrow+\infty$ es algebraico. Entonces, si $k=r^2-1$ una trayectoria gira infinitas veces.

Answer 2

También hay flujos de gradiente con ciclos límite. Es decir $$ \dot x = - \nabla V(x) $$ lo que significa que $V$ es una función de Lyapunov por construcción. Un ejemplo de este tipo en forma polar $V(r \cos(\theta),r\sin(\theta))=v(r,\theta)$ viene dada por $$ v(r,\theta) = \begin{cases} \exp\Bigl(-\tfrac{1}{1-r^2}\Bigr) , & r < 1 \\ \exp\Bigl(-\tfrac{1}{r^2-1}\Bigr) \sin\Bigl(\frac{1}{r-1} - \theta\Bigr) , & r>1 \\ 0 & r=0 \end{cases} $$ Se trata de una función no analítica (en $r=1$ ). La solución del flujo de gradiente inicialmente en el origen se mantiene allí, para puntos iniciales con $r<1$ converge a $r=1$ con $\theta$ que se mantienen constantes. Para el inicio $r=1$ las soluciones se atascan de nuevo. Para los primeros $r>1$ hay dos casos: Para la inicial genérica $\theta$ converge a una solución en espiral hacia el exterior. Sin embargo, para una elección inicial específica $\theta^*=\theta^*(r)$ existe una solución en espiral hacia dentro que tiene como ciclo límite el círculo unitario. Ver también la imagen de abajo.

No estoy seguro de si se podría arreglar el ejemplo para tener para los valores iniciales genéricos limitar los ciclos, o si los de los sistemas de gradiente son de alguna manera especial.

Answer 3

El sistema se detiene sólo en el límite cuando el tiempo llega al infinito. Se podría, por ejemplo, tener un círculo formado por el punto de equilibrio, y a medida que el tiempo va al infinito, las soluciones se dirigen en espiral hacia el círculo con una velocidad continuamente decreciente.