Si $f(x) =5x^2 - 2kx + 1 < 0$ tiene exactamente una solución integral, encuentre la suma de todos los valores integrales positivos de $k$ .

Question

Hoy mismo me he encontrado con este problema en mi libro.

Si $f(x) =5x^2 - 2kx + 1 < 0$ tiene exactamente una solución integral, encuentre la suma de todos los valores integrales positivos de $k$ .

Después de unos cuantos intentos infructuosos, he conseguido solucionarlo (o eso creo). Adjunto una imagen que muestra cómo lo he resuelto. Sé un poco de MathJax, pero no sé cómo escribir todos esos símbolos, así que adjunto una imagen de la solución.

Lo que quiero preguntar es que creo que he resuelto este problema correctamente. Pero la respuesta en la parte posterior de mi libro es: $5+4=9$ .

Es decir, $\{3\}$ no pertenece al conjunto de soluciones, lo que me parece extraño. Es posible que haya cometido un error en alguna parte al resolverlo, pero no lo he encontrado. Por favor, ayúdenme con ello. Gracias.

Y no se trata de un problema de deberes. Realmente no lo es, sólo encontré esta pregunta en mi libro y traté de resolverla, por curiosidad.

Sólo pregunto por qué $\{3\}$ no pertenece al conjunto de soluciones. Porque debería, por lo que veo.

Answer 1

Tenemos $f(x) =5x^2 - 2kx + 1=5(x^2-2\frac{k}{5}x +\frac{k^2}{25})-\frac{k^2}{5}+1=5(x-\frac{k}{5})^2 - \frac{k^2}{5}+1 \geq 1-\frac{k^2}{5}$

Así que toma su mínimo en $\frac{k}{5}$ que es $1-\frac{k^2}{5}$

Queremos $1-\frac{k^2}{5}<0$ para que la desigualdad tenga solución, por lo que $k<-\sqrt{5}$ y $k>\sqrt{5}$ $(1)$

Las soluciones a $f(x)=0$ son $x_1=\frac{k-\sqrt{k^2-5}}{5}$ y $x_2=\frac{k+\sqrt{k^2-5}}{5}$

Como usted ha mencionado debe haber el siguiente requisito: $x_2-x_1<2$ que resolviendo da $-\sqrt{30}< k < \sqrt{30}$ $(2)$

Desde $(1)$ y $(2)$ obtenemos las soluciones requeridas que son $k=4$ y $k=5$

El problema con $k=3$ es que $f(x)<0$ entonces $x \in (0.2, 1)$ que no tiene solución integral

Answer 2

Usando sus anotaciones: $$\alpha=\frac{k-\sqrt{k^2-5}}{5}; \beta=\frac{k+\sqrt{k^2-5}}{5}.$$ La solución integral de $5x^2 - 2kx + 1 < 0$ debe estar en $(\alpha,\beta)$ .

Considere sólo $k>0$ por el requerimiento y nota que: $$\\ 0<\alpha<1 \iff 0<k-\sqrt{k^2-5}<5 \iff k-5<\sqrt{k^2-5} \Rightarrow k>0 $$ Por lo tanto: $$\beta>1 \Rightarrow k+\sqrt{k^2-5}>5 \Rightarrow \sqrt{k^2-5}>5-k \Rightarrow k>3.$$ Esta es una condición adicional que se pierde por su $|\alpha-\beta|<2$ .

Para $k=3$ la desigualdad $5x^2 - 6x + 1 < 0$ tiene una solución $(0.2,1)$ que no tiene solución integral.

Answer 3

Sólo traza la cosa para $k = 4$ y $k = 5$ (Utilice Desmos ( https://www.desmos.com/calculator/g3r9safvji ), por ejemplo); verá que $x = 1$ es la única solución entera en esos dos casos; para los más pequeños $k$ no hay soluciones enteras; para las más grandes $k$ hay al menos dos.

Esos gráficos deberían permitirte ver el error en tu "solución".