Evaluación de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{\prod_{r=1}^{n}(x+r)}$ para $x\in\mathbb{R}^{+}$

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente suma. Aquí $x\in\mathbb{R^{+}}$ .

$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{\prod_{r=1}^{n}(x+r)}$$

En este momento no sé cómo proceder. Se agradece cualquier sugerencia. Gracias.

Answer 1

Una respuesta sin $\Gamma$ -función mágica.

Utiliza las fracciones parciales para demostrar que $$\begin{align}\frac{(n-1)!}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}&=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{\binom{n-1}{k-1}}{x+k}\\&=\int_{0}^1 t^x(1-t)^{n-1}\,dt\end{align}\tag 1$$

Esto es cierto para $x>-1,$ que necesitaremos más adelante.

Puedes demostrar esta igualdad directamente sin fracciones parciales utilizando la integración por partes y la inducción.

Entonces, cambiando la integral por la suma, obtenemos:

$$\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{(x+1)\dots(x+n)}&=\int_0^1 t^x\sum_{n=1}^\infty (1-t)^{n-1}\,dt\\&\int_0^1 t^x\frac{1}{1-(1-t)}\,dt\\ &=\int_0^1t^{x-1}\,dt\\&=\frac1x\end{align}$$

Se puede cambiar la suma y la integral debido al Teorema de Convergencia Monótona de Lebesgue.

Sin el Teorema de Convergencia Monótona, sólo puedes tomar sumas parciales:

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{N} &=\int_0^1 t^x\frac{1-(1-t)^N}{t}\,dt\\ &=\frac1x-\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^N\,dt\\ &=\frac1x-\frac{N!}{x(x+1)\cdots (x+N)}\quad\text{by }(1)\\ &=\frac1x-\frac1{x(1+x/1)(1+x/2)\cdots (1+x/N)} \end{align}$$

Y $x\prod_n (1+x/n)$ diverge al infinito cuando $x>0$ porque $\sum_n x/n$ diverge al infinito.

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Suma telescópica

La forma más fácil de demostrarlo es probar que es una serie telescópica.

Las sumas parciales significan que podemos reescribir los términos de la serie para que sean telescópicos:

$$\frac{(n-1)!}{(x+1)\cdots(x+n)}=a_{n-1}-a_{n}\tag 2$$ donde $$a_n =\frac{1}{x(1+x/1)(1+x/2)\cdots (1+x/n)}$$

Podemos escribirlo inductivamente, $$a_0=\frac1x,\\a_{n}=\frac{a_{n-1}}{1+x/n}$$ Ya hemos demostrado que $a_n\to 0$ cuando $x>0.$

Podemos verificar (2) directamente: $$\begin{align}a_{n-1}-a_n&= \frac{(1+x/n)-1}{1+x/n}a_{n-1}\\&=\frac{(1+x/n)-1}{x(1+x/1)\cdots(1+x/n)}\\&=\frac{x/n}{x(1+x/1)\cdots(1+x/n)}\\&=\frac{(n-1)!}{(x+1)\cdots (x+n)}\end{align}$$

En este punto, el teorema más avanzado que utilizamos es el de la serie armónica, $\sum_n\frac1n,$ diverge (lo que nos permite concluir que $a_n\to 0.)$ Esto sólo es necesario para $0<x<1,$ porque para $x\geq 1,$ $a_n\leq a_1= \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.$

Para $x>0,$ tenemos $$\frac{1}{x\log n}\geq a_n\geq \frac{1}{3xn^x}$$ así que cuando $x$ es pequeño, la convergencia a $0$ puede ser lento.

Answer 2

$$\prod _{r=1}^n (r+x)=\frac{\Gamma (n+x+1)}{\Gamma (x+1)}$$ $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Gamma(n)}{\frac{\Gamma (n+x+1)}{\Gamma (x+1)}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Gamma (n) \Gamma (x+1)}{\Gamma (n+x+1)}=\frac{\Gamma (x)}{\Gamma (x+1)}=\frac{1}{x}$$