Un módulo irreducible $p^n$ de un grupo finito $G$ sobre un campo $p$ .

Question

Supongamos que $p^n$ es un $n$ -módulo irreducible (o absolutamente irreducible) para un grupo finito $G$ sobre un campo $p$ . ¿Es cierto que una extensión dividida $p^n{:}G$ ¿siempre existirá? Si es cierto, ¿cómo lo demostramos?

Answer 1

Sí, es cierto.

Dejemos que $M$ sea el módulo (izquierdo) de orden $p^n$ . Así, para cada $g \in G$ y $m \in M$ un elemento del módulo $gm \in M$ se define.

Ahora podemos definir el producto semidirecto $E = M \rtimes_\phi G$ . cuando la acción $\phi$ de $G$ en $M$ se define por $\phi(g)(m) = gm$ y $E$ es la extensión de la división requerida con la estructura $p^n:G$ .