¿Un número irracional es impar o par?

Question

Mi hermana me acaba de hacer esta pregunta: "¿Un número irracional es impar o par?" Le he dicho que los decimales no son Impares ni pares y eso implica que los decimales no recurrentes y no repetitivos tampoco serán Impares ni pares. Pero quiero una prueba matemática rigurosa para esto. ¿Puede alguien ayudarme con esta demostración? Además, ¿puedo hacer esta prueba por contradicción?

Answer 1

Supongo que la "motivación" original de la distinción impar/par en la cultura humana era saber si un número de cosas (como manzanas o piedras) se podía dividir entre dos personas de forma justa sin tener que cortar o romper una restante. Y también para saber si las cosas podían emparejarse: tres mujeres y tres hombres estaba bien, pero una mujer y dos hombres significaba ¡Conflicto!

La distinción anterior tiene sentido con los números naturales... Pero ¿qué motivación tendríamos para definir impar/par para los racionales o irracionales por ejemplo? Cualquier racional dividido entre dos da como resultado un racional, por ejemplo, 1,5 / 2 = 0,75. Si aceptamos las cosas cortadas o rotas, ¡no nos importan los restos!

Answer 2

He aquí una perspectiva más. Piensa en la relación de congruencia mod 2 $x \equiv y$ , definida como " $x\equiv y$ si y sólo si $x-y$ es un múltiplo entero de $2$ ". (Esto se suele denominar $x \equiv y \pmod 2$ pero omitiré el paréntesis porque no habrá posibilidad de confusión).

No es difícil comprobar que se trata de una relación de equivalencia Es decir, es reflexivo , simétrico y transitivo . La relación está bien definida sobre cualquier subconjunto de los números reales, incluyendo, por supuesto, los enteros $\mathbb Z$ . Sólo hay dos clases de equivalencia de $\mathbb{Z}$ modulo el " $\equiv$ "relación: los enteros pares $[0] = \{0 + 2n: n \in \mathbb{Z}\}$ y los enteros Impares $[1] = \{1 + 2n: n \in \mathbb{Z}\}$ .

Del mismo modo, podemos definir las clases de equivalencia de los reales $\mathbb{R}$ modulo el " $\equiv$ ". Aquí hay muchas más clases de equivalencia: excepto las probabilidades $[1]$ y los pares $[0]$ también existen las clases de equivalencia $[0.5] =\{0.5 + 2n: n \in \mathbb Z\}$ y $[\sqrt{2}]=\{\sqrt{2} + 2n: n \in \mathbb{Z}\}$ por ejemplo. De hecho, hay una clase de equivalencia distinta $[x] = \{x + 2n: n \in \mathbb{Z}\}$ por cada $x \in [0, 2)$ .

Así que en ese sentido, un número irracional, o de hecho cualquier número que no sea un entero, no es ni impar ni par, porque no pertenece a ninguna de las clases de equivalencia $[0]$ y $[1]$ . Esto se debe a que si $x$ no es un número entero, entonces $x-0$ y $x-1$ tampoco son números enteros y, por lo tanto, ninguno de ellos es un múltiplo entero de $2$ .

Answer 3

Muy relacionado con otras respuestas, pero podría ser bueno para el propósito. Por contradicción:

For a given irrational a, assume it is odd.
a/2 is also irrational; call it b
2b is obviously even since odd + odd = even
so a is even.
So all irrationals are even, 
which shows they cannot be split into two categories at least.
All rationals can be expressed as the product of two irrationals 
(which is  just saying that a rational divided by an irrational is irrational) 
so all rationals are even too.

∴ 1 es par

Answer 4

Un número par es cualquier número entero que es divisible por 2 por lo que las ecuaciones para cualquier número par es: $N_E=2n: n\in\Bbb Z$

Un número impar es cualquier número entero que es no divisible por 2 por lo que la ecuación para cualquier número impar es: $N_O=2n-1: n\in\Bbb Z$

Y si se pone cualquier número entero (sustituido por n en las ecuaciones anteriores) a las ecuaciones mostradas anteriormente, ninguna de las ecuaciones dará un valor irracional por lo que un número irracional no es par ni impar, son simplemente NÚMEROS IRRACIONALES .

Answer 5

Todos los números Impares en el triángulo pascal están en un triángulo de Sierpinski, que es un fractal.

El coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ se define para los números enteros, pero puede extenderse a cualquier número real .

$$\binom{\alpha }{k}= \frac{\alpha ^{\underline{k}}}{k!}$$

Otra forma es utilizando la función Gamma: $$\binom{\alpha }{k}=\frac{\Gamma \left ( \alpha +1 \right )}{\Gamma \left ( k +1 \right )*\Gamma \left ( \alpha-k+1 \right )}$$

Lo que pasa con el triángulo de Sierpinski, es que como es un fractal, tiene infinitos detalles, si se amplía.

Así que el concepto de ser impar se puede extender a todos los números $\binom{n}{k}$ cuyas coordenadas (n,k) caen en el triángulo de Sierpinski, en el sentido de que comparten una propiedad de los números Impares .

No sé si los triángulos blancos (formados por números pares en el triángulo pascal) también contienen números Impares para coordenadas no enteras, pero si lo hacen, y además conforman un fractal, se aplica el mismo concepto.