¿Un número irracional es impar o par?

Question

Mi hermana me acaba de hacer esta pregunta: "¿Un número irracional es impar o par?" Le he dicho que los decimales no son Impares ni pares y eso implica que los decimales no recurrentes y no repetitivos tampoco serán Impares ni pares. Pero quiero una prueba matemática rigurosa para esto. ¿Puede alguien ayudarme con esta demostración? Además, ¿puedo hacer esta prueba por contradicción?

Answer 1

Definición.

Dejemos que $n\in \mathbb{Z}$ sea un número entero. $n$ se llama incluso si ...

Según la definición sólo los enteros son pares o Impares. No es algo que haya que demostrar.

Answer 2

El concepto original de par e impar se define sobre números enteros. Sin embargo, cabe preguntarse: ¿Existe una extensión natural a todos los números reales? Y si es así, ¿cuál sería la paridad o imparidad de los números irracionales?

Ahora bien, ¿qué exigiríamos a esa prórroga? Bueno, la exigencia más importante es, por supuesto, que los enteros sean pares bajo la definición extendida si y sólo si son pares bajo la definición normal (es decir, también nuestra nueva definición debería, por ejemplo, darnos que $2$ es par y $5$ es impar).

Probemos, pues, algunas propiedades de los enteros pares/impares:

• Un número es par si se puede escribir como $2x$ .

  En los números reales, cada se puede escribir como $2x$ . Por lo tanto, esta definición no funciona.

• Un número es par si es dos veces entero.

  Esto, por supuesto, funciona en los números reales (y hace que todos los no enteros sean Impares). Pero parece ser una extensión de impar; ciertamente no es muy útil.

• La suma de dos números pares o dos Impares es par, la suma de un número par y uno impar es impar; 1 es impar.

  Desde $1=\frac12+\frac12$ , $\frac12$ no podía ser ni par ni impar. Esta definición podría funcionar probablemente haciendo tres tipos de números: pares, Impares o ninguno. Pero hay muchas maneras de hacerlo; la más natural sería declarar que todos los números no enteros no son ni pares ni Impares; pero de todos modos, ahí es donde empezamos. Para los números racionales, también funcionaría que un número es par si para la forma de máxima anulación el numerador es par, e impar si tanto el numerador como el denominador son impar. Pero esa definición no tiene una extensión natural a los números irracionales (excepto, de nuevo, que todos no sean ni pares ni Impares).

• Añadiendo $1$ a un número par da un número impar, y viceversa.

  De nuevo, esto no da una definición única. La definición más natural sería utilizar una función de redondeo $\mathbb R\to\mathbb Z$ (como redondear al más cercano, redondear hacia arriba, redondear hacia abajo o redondear hacia cero) y definir $x$ para ser incluso si $r(x)$ es par. Sin embargo, ¿qué función de redondeo elegir?

Así que hay son formas de extender pares/Impares a los reales, sin embargo definitivamente tendrás que renunciar a algunas propiedades de los números pares/Impares, y no está claro cuáles de las posibles deben ser elegidas, especialmente dado que las definiciones resultantes no son demasiado útiles de todos modos. Ninguna de ellas capta realmente el concepto de números pares e Impares.

Answer 3

Un enfoque útil para generalizar la impar y los números pares a los números irracionales es cuantificar la "cantidad de par" de un número. Veremos que $12$ es "el doble" que $6$ . Entonces, en lugar de preguntar si un número irracional es impar o par, pregunta cómo incluso lo es.

En primer lugar, comience con Respuesta de Patrick Da Silva a la pregunta vinculada . Explica los fundamentos mucho mejor de lo que yo podría hacerlo.

¿Todavía estás conmigo? Bien. Ahora el reto es ampliar la valoración de 2 raíces $\nu_2$ de los números racionales a los números reales. Esto sí puede hacerse, y nos da respuestas sencillas para algunos números irracionales. Por ejemplo, $\nu_2(\sqrt 2)=\frac12$ . En este sentido se puede decir que $\sqrt 2$ es "la mitad", aunque no es la terminología habitual.

Lamentablemente, no hay una único extensión de $\nu_2$ a todos los números reales. No puedo decir qué $\nu_2(\pi)$ es, porque depende de la extensión. No obstante, el mero hecho de que una extensión existe resulta ser útil. Por ejemplo:

• Teorema de Monsky . No es posible disecar un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área.

Eso parece un resultado clásico de la antigua geometría griega, ¿no? No, se demostró en 1970 utilizando la existencia de una extensión de $\nu_2$ ¡a los números reales! La prueba se basa en una elaborada coloración del plano que, en el fondo, y en términos sencillos, hace lo que tú quieres: llama a los números irracionales Impares o pares.

Answer 4

Lo que necesita ante todo no es una prueba, sino una definición.

Normalmente, se dirá algo como: se llama a un número entero aunque sea divisible por $2$ e impar en caso contrario.

Entonces, ser "par" e "impar" es una propiedad de enteros, y no tiene sentido pedirle otros números. Tampoco tiene sentido preguntar si un círculo es par.

Ahora bien, usted podría tener una definición diferente de "par" e "impar" que tenga sentido para más números y la respuesta cambia.

Por ejemplo, si se extiende la definición anterior directamente a los números reales, todo número es par: en los números reales todo número es divisible por $2$ ya que $2X =a$ tiene una solución (real) para cada $a$ .

Answer 5

Un número irracional sólo tiene sentido si miramos los números más allá de los racionales. En cualquier extensión de los racionales encontraremos el número $\frac 12$ . Y entonces cualquier número es divisible por $2$ .

Podríamos decir, en este contexto, que todo número es par. El problema es que el concepto deja de ser útil cuando se utiliza de esa manera. Así que no lo usamos así, y lo conservamos para contextos en los que la divisibilidad por $2$ hace la diferencia.