Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación diferencial:
$y'' + y = x \cdot e^x$
Ya tengo la solución homogénea: $y_h = c_1 \cdot cos(x) + c_2 \cdot sin(x)$ pero me cuesta encontrar la solución particular. He intentado utilizar $y_p = a \cdot x \cdot e^x$ pero eso no funcionó del todo, o tal vez hice algo mal...
¿Puede alguien explicarme cómo resolver esto?
Gracias.
Edición: Aquí está la solución:
$y_p = (a \cdot x + b) \cdot e^x$
$y_p' = (a + a \cdot x + b) \cdot e^x$ y $ y_p'' = (2 \cdot a + a \cdot x + b) \cdot e^x$
$y_p'' + y_p = (2 \cdot a \cdot x + 2 \cdot a + 2 \cdot b) \cdot e^x$
$\Rightarrow 2 \cdot a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ y $2 \cdot a + 2 \cdot b = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot a = 1 = - 2 \cdot b \Rightarrow b = - \frac{1}{2}$
$\Rightarrow y_p = (a \cdot x + b) \cdot e^x = \frac{x-1}{2} \cdot e^x$
En definitiva: $y = y_h + y_p = c_1 \cdot cos(x) + c_2 \cdot sin(x) + \frac{x-1}{2} \cdot e^x$
