Ideales en los Factores de

Question

Uno puede fácilmente demostrar que factores no triviales ultraweakly cerrado a 2 caras ideales como estos son equivalentes a no trivial de las proyecciones centrales. También se puede mostrar el tipo de $I_n$, el tipo de $II_1$, y el tipo de $III$ factores son algebraicamente simple (cualquiera de los 2 lados ideal debe contener una proyección. Todas las proyecciones son comparables en un factor, por lo que puede mostrar 1 es en el ideal). Ideales en $B(H)$ ($\dim(H)=\infty$, $H$ separables) han sido ampliamente estudiados. ¿Qué acerca de los ideales en $II_\infty$ factores?

Uno podría pensar que, dado que todos los $II_\infty$ factor de $M$ puede ser escrito como $N\overline{\otimes} B(H)$ $N$ $II_1$ factor, si $I\subset B(H)$ es un ideal, entonces $N\otimes I$ 2-cara ideal. Esto es falso. Uno necesita tomar el ideal generado por a $N\otimes I$. ¿Qué significa eso de la una de von Neumann álgebra punto de vista? Es lo mismo que tomar la norma de cierre?

También podemos describir algunos de los ideales en términos de la traza. Uno tiene el equivalente de Hilbert-Schmidt a los operadores: $$I_2=\{x\in M | tr(x^\ast x)<\infty\}$$ de seguimiento y la clase de los operadores: $$I_1=\{x\in M | tr(|x|)<\infty\}=I_2^\ast I_2 =\left\{\sum^n_{i=1} x_i^\ast y_i | x_i, y_i\in I_2\right\}.$$ ¿Cuál es la relación de $I_j$ $N\otimes L^j(H)$ $j=1,2$(donde $L^2(H)$ es la de Hilbert-Schmidt a los operadores y $L^1(H)$ es la clase de seguimiento de los operadores en $B(H)$)? Es $I_j$ la norma de cierre de $N\otimes L^j(H)$?

Answer 1

Blackadar en su libro de texto sobre las álgebras de operadores da una clasificación completa de la norma-cerrado ideales en los factores. Ver la Proposición III.1.7.11.

Answer 2

Respecto a tu primera pregunta, $N\otimes I$ es el subalgebra de "diagonal" de los operadores, que ya es norma-cerrado, y no es un ideal. El ideal que se busca es el ideal generado por el finito de proyecciones, que es $N\otimes K(H)$ (es decir, la norma de cierre de la serie de "finito de matrices con entradas en N).

Y creo que es correcto que la $I_j$ es la norma de cierre de $N\otimes L^j(H)$, $j=1,2$.