Preguntas fundamentales sobre "La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta".

Question

En la retrospectiva de la historia de las matemáticas, intento reconstruir las respuestas a las siguientes preguntas fundamentales:

1. Quien demostró primero en cierta geometría que "La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta". ? Por favor, proporcione pruebas o dé referencias precisas al respecto.
2. ¿Es la declaración "La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta". dentro de una geometría euclidiana un axioma o un teorema ?
3. ¿La geometría euclidiana (y/o cualquier otra geometría) define (por axioma), lo que es un "punto" , lo que es un "línea" y que "línea recta" ¿a qué se debe?

Observaciones:

• Por supuesto, la afirmación anterior podría haberse formulado a lo largo del tiempo de diferentes maneras, por ejemplo, en lugar de la noción "distancia" También reconocí "camino" y "curva" .
• Se necesitan referencias precisas, explicaciones y pruebas, se agradecen las respuestas no triviales .

Gracias de antemano por su apoyo.

Answer 1

En su Sobre la esfera y el cilindro I Arquímedes da algunas definiciones, y luego algunas suposiciones. Su primera suposición dice (traducida al español):

" De todas las líneas que tienen los mismos extremos, la línea recta es la menor. " [traducido por Thomas Heath, énfasis dado por Heath]

Para "extremos", léase "puntos extremos"; para "mínimo", léase "más corto". La noción de que una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos se atribuye a menudo a Arquímedes sobre la base de este supuesto. Teniendo en cuenta esto, supongo que podríamos llamar a esto un axioma, en lugar de un teorema, y por lo tanto no admitiría una demostración.

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En la geometría euclidiana, términos como "punto" y "línea" se denominan a menudo "indefinidos", lo que significa que se definen por su comportamiento en los axiomas, y no explícitamente en algún tipo de glosario.

La idea de un " recto La "línea" (en oposición a una línea que no es recta), por otra parte, me parece que fue asumida como obvia por muchos de los antiguos griegos. Por ejemplo, Arquímedes (en la misma obra) utiliza la "línea recta" en algunas definiciones, pero no la define en ninguna parte ni indica qué condiciones debe cumplir. Euclides dice en la definición 4 de su Elementos que

"A línea recta es una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". [de nuevo, traducido por Thomas Heath]

Creo que estarás de acuerdo en que esto no es exactamente satisfactorio como definición.