cohomología de Rham y haces vectoriales planos

Question

Me preguntaba si existe alguna noción de "cohomología de Rham del haz vectorial". Para ser más precisos: el grupo k-ésimo de cohomología de Rham de una variedad $H_{dR}^{k}(M)$ se define como el conjunto de formas cerradas en $\Omega^k(M)$ módulo del conjunto de formas exactas. El operador cofundador viene dado por la derivada exterior.

Dejemos ahora $E \rightarrow M$ sea un haz vectorial con conexión $\nabla^E$ en $M$ y considerar el $E$ -valorado $k$ -forma en $M$ : $\Omega^k(M,E)=\Gamma(\Lambda^k TM^\ast \otimes E)$ .
Si $E$ es un plano haz vectorial, obtenemos un operador cofundador $d^{\nabla^E}$ (ya que $d^{\nabla^E} \circ d^{\nabla^E} = R^{\nabla^E}=0$ con $R^{\nabla^E}$ siendo la curvatura) y podemos definir

$$H_{dR}^{k}(M,E) := \frac{ker \quad d^{\nabla^E}|_{\Omega^k(M,E)}}{im \quad d^{\nabla^E}|_{\Omega^{k-1}(M,E)}}$$

Así que mi pregunta: ¿Es esto de alguna manera útil? Me refiero a si se puede utilizar esta definición para hacer algunas afirmaciones sobre $M$ o $E$ o lo que sea? ¿O es la restricción de $E$ para ser un haz de vectores planos de alguna manera inquietante? ¿O es completamente inútil?

Answer 1

Un punto de vista que aún no se ha mencionado es el siguiente: La cubierta universal $\tilde M$ es un haz de fibras principal sobre $M$ con grupo de estructura $\pi=\pi_1(M)$ y una conexión plana en $E$ identifica $E$ como el paquete asiciado a $\tilde M$ para la representación holonómica de $\pi$ en $V:=E_{x_0}$ la fibra sobre el punto base. Entonces $\Omega(M,E)\cong \Omega(\tilde M,V)^\pi = (\Omega(\tilde M)\otimes V)^\pi$ y $H^k_{dR}(M,\nabla) = H^k((\Omega(\tilde M)\otimes V)^\pi) = (H^k_{dR}(\tilde M)\otimes V)^\pi$ .

Answer 2

Esta es la versión de Rham de la cohomología con coeficientes locales . También es la versión cohomológica de la "teoría K retorcida".

No es "completamente inútil" en absoluto. Un ejemplo sencillo es cuando $E$ es el haz de líneas de orientación. Entonces esta cohomología es dual a la cohomología ordinaria, incluso si la variedad no es orientable. De hecho, el emparejamiento entre la cohomología ordinaria de Rham y esta cohomología es el verdadero emparejamiento, y si la variedad es orientable entonces se convierte en lo que solemos llamar dualidad de Poincare.

Una buena explicación de esto, con la vista puesta en la Teoría K Retorcida, se encuentra en la introducción del reciente artículo de Atiyah y Segal del mismo nombre (disponible en el arXiv).

Answer 3

Hay otro escenario en el que esto es muy útil, a saber, cuando el haz vectorial plano proviene de una estructura geométrica localmente plana en una variedad. El ejemplo más conocido es el de una esfera con la clase conforme de la métrica redonda, que es localmente plana. Esto significa que ver $S^n$ como un espacio homogéneo de $G:=SO(n+1,1)$ y mediante la formación de haces vectoriales homogéneos cualquier representación de dimensión finita $V$ de $G$ define un haz vectorial en $S^n$ que está dotado canónicamente de una conexión plana. Esto tiene un análogo para las variedades localmente conformes y (con una conexión no plana) para las estructuras conformes generales ("haces tractores" y "conexiones tractoras"). Otro buen ejemplo es el de un colector de dimensión $n$ dotado de una métrica hiperbólica. Esto determina una estructura proyectiva plana, que de nuevo da lugar a haces tractores correspondientes a representaciones de $SL(n+1,\mathbb R)$

La maquinaria de las secuencias de Berstein-Gelfand-Gelfand relaciona entonces la secuencia de Rham asociada a la conexión tractora con secuencias de operadores diferenciales invariantes (de orden superior) que actúan sobre secciones de haces tensoriales. Si la conexión tractora es plana, estos operadores forman un complejo que calcula la cohomología de Rham retorcida. En el caso de la esfera, se obtiene una resolución de la representación $V$ por representaciones en serie principal, que es dual a la resolución Bernstein-Gelfand-Gelfand por módulos de Verma. Este es el punto de partida de una larga historia.

Answer 4

Esta teoría de la cohomología es, en efecto, bastante útil. Un lugar notable en el que (o más precisamente su elevación a categorías derivadas apropiadas) juega un papel central es la correspondencia Riemann-Hilbert: es es ¡la correspondencia!

Answer 5

La exposición de Eugene Xia Cohomología abeliana y no abeliana describe y relaciona explícitamente los espacios de moduli de Betti, Čech, de Rham y Dolbeault en el contexto de las correspondientes teorías de cohomología (véase mi revisión aquí ). Es un tratamiento sintético bien escrito y con buenas referencias.