cohomología de Rham y haces vectoriales planos

Question

Me preguntaba si existe alguna noción de "cohomología de Rham del haz vectorial". Para ser más precisos: el grupo k-ésimo de cohomología de Rham de una variedad $H_{dR}^{k}(M)$ se define como el conjunto de formas cerradas en $\Omega^k(M)$ módulo del conjunto de formas exactas. El operador cofundador viene dado por la derivada exterior.

Dejemos ahora $E \rightarrow M$ sea un haz vectorial con conexión $\nabla^E$ en $M$ y considerar el $E$ -valorado $k$ -forma en $M$ : $\Omega^k(M,E)=\Gamma(\Lambda^k TM^\ast \otimes E)$ .
Si $E$ es un plano haz vectorial, obtenemos un operador cofundador $d^{\nabla^E}$ (ya que $d^{\nabla^E} \circ d^{\nabla^E} = R^{\nabla^E}=0$ con $R^{\nabla^E}$ siendo la curvatura) y podemos definir

$$H_{dR}^{k}(M,E) := \frac{ker \quad d^{\nabla^E}|_{\Omega^k(M,E)}}{im \quad d^{\nabla^E}|_{\Omega^{k-1}(M,E)}}$$

Así que mi pregunta: ¿Es esto de alguna manera útil? Me refiero a si se puede utilizar esta definición para hacer algunas afirmaciones sobre $M$ o $E$ o lo que sea? ¿O es la restricción de $E$ para ser un haz de vectores planos de alguna manera inquietante? ¿O es completamente inútil?

Answer 1

Como se puede ver en la rápida y variada respuesta (¿5 respuestas en 40 minutos es algún tipo de récord?) la construcción es muy útil y tiene muchas aplicaciones.

Un tema más que añadir a la lista, que enlaza muy bien con la respuesta de David Speyer, es el vínculo entre los llamados campos de Higgs y los haces planos sobre las variedades de Kahler. Esta teoría, originalmente debida a Hitchin en 1987, está ahora muy en boga por el papel que desempeña en la geometría de Langlands. Una buena referencia introductoria está aquí. Yo también haré un brevísimo resumen, pero el artículo hace un trabajo mucho mejor.

Dado un haz vectorial holomorfo E sobre una colecta compleja, un "campo de Higgs" es una forma holomorfa A con valores en End(E) que también satisface $A\wedge A =0$ (el producto combina el producto cuña sobre las formas y el corchete de Lie sobre los endomorfismos). Esto significa que si añadimos A al operador d-bar sobre formas con valor de haz obtenemos algo con cuadrado cero, dando una versión retorcida del complejo de Dolbeault que David Speyer mencionó en su respuesta.

Mientras tanto, podemos construir un haz de Higgs partiendo de un haz plano SL(n,C). Si elegimos una métrica hermitiana en el haz, podemos dividir la conexión plana en dos partes, una unitaria y la otra hermitiana sesgada. Cuando la métrica satisface una EDP, llamada "armónica", el componente (0,1) de la conexión unitaria da una estructura holomórfica en el haz y el componente (1,0) de la parte sesgada-hermitiana da un campo de Higgs. Un teorema de Donaldson y Corlette nos dice que podemos hacer esto siempre que el haz plano sea irreducible (es decir, el correspondiente rep del grupo fundamental es irreducible). Además, esta construcción da una correspondencia 1-1 entre los haces de Higgs estables y los haces planos irreducibles de SL(n,C).

Dado un haz de Higgs que surge de este modo, tenemos ahora dos grupos de cohomología diferentes: los grupos Dolbeault retorcidos de d-bar más A y los grupos deRham acoplados de la conexión plana. La teoría de Hodge nos dice que, de hecho, estos grupos son iguales. Este es el punto de partida de un tema llamado "teoría de Hodge no abeliana". Da, entre otras cosas, profundas restricciones a los grupos fundamentales de las variedades de Kahler.

Answer 2

Advertencia: El primer párrafo de lo que sigue está fuera de mis conocimientos.

Me han dicho que esta construcción es muy útil en las EDP. Si tienes una EDP en algún colector $M$ En el caso de las soluciones, a menudo se puede formular el espacio vectorial de las soluciones como el núcleo de alguna conexión plana sobre un haz vectorial. En particular, creo que el lado analítico de la Teorema del índice de Atiyah-Singer es la característica de Euler de la teoría deRham que has descrito.

Puedo decir que la construcción análoga es muy importante en la geometría algebraica compleja. Dado un haz vectorial holomorfo sobre una variedad compleja, hay una forma natural de definir un $d$ -barra de conexión en ella. (Esto significa $\nabla_X$ sólo se define cuando $X$ es un $(0,1)$ campo vectorial). La cohomología del complejo resultante de DeRham, que se denomina complejo de Dolbeault en este entorno, es la misma que la cohomología del haz de secciones holomorfas del haz vectorial. Véase el artículo de Wells Análisis diferencial en variedades complejas o las primeras partes de la obra de Voisin Teoría de Hodge y geometría algebraica .

Answer 3

Una conexión plana sobre un haz vectorial de dimensión determina un sistema local $\mathcal{G}$ sobre su colector de base $M$ por transporte paralelo, es decir, un functor desde el groupoide fundamental de $M$ a la categoría de grupos abelianos (isomorfa a $\mathbb{R}^n$ ). Nótese que, aunque todas las fibras son isomorfas a $\mathbb{R}^n$ no son canónicamente isomorfos. A un sistema local se le pueden asociar grupos de cohomología (singulares) con coeficientes locales. Hay dos formas básicas de hacerlo:

1) Haz la misma construcción que para la homología/cohomología singular habitual, pero toma como coeficientes de un simplex $f: \Delta^k\to M$ un valor en la fibra de $\mathcal{G}$ en $f(barycenter)$ . Los mapas límite se definen mediante la elección de una trayectoria desde el baricentro de $\Delta^n$ al baricentro de una cara.

2) Para una conexión $M$ un sistema local es esencialmente equivalente a una representación de $\pi_1(M)$ en $\mathbb{R}^n$ . Sobre las cadenas singulares de la cubierta universal $\widetilde{M}$ También hay un $\pi_1(M)$ acción a través de las transformaciones de la cubierta. Ahora se puede tensorizar el complejo de cadena singular de $\widetilde{M}$ con $\mathbb{R}^n$ sobre el anillo de grupo $\mathbb{R}[\pi_1(M)]$ y tomar entonces la homología/cohomología.

Supongo que estos grupos de cohomología con coeficientes locales deben ser isomorfos a su ''cohomología deRham de haces vectoriales'', aunque no conozco ninguna referencia por el momento.

Los grupos de homología/cohomología con coeficientes locales sirven para muchas cosas en general. Los he visto sobre todo en la secuencia espectral de Serre (cálculo de grupos de homología/cohomología de haces de fibras) donde el $E^2$ -término se suele escribir en términos de ellos. Otra aplicación es la dualidad de Poincare para variedades no orientables.

Answer 4

Una forma de ver esto, que lo sitúa en un contexto amplio, es la siguiente:

el complejo llamado $H_{dR}(M,E)$ en la pregunta (quizás mejor $H_{dR}(E,\nabla)$ ) es el complejo "Chevalley-Eilenberg" de la acción- Lie algebroid dada por la acción de la algebroide de Lie tangente en el haz vectorial dual (en sentido de la fibra) $E^*$ inducido por $\nabla$ .

De forma más general, se pueden permitir representaciones en complejos de haces vectoriales, en cuyo caso estamos hablando de oo-Lie representaciones algebroides Algunas observaciones sobre los antecedentes conceptuales de tales acciones de los algebroides de oo-Lie se encuentran en Representación Lie oo-algebroide .

Esto es algo que se sigue reinventando. Un resultado poderoso sobre la estructura de la categoría dg de tales representaciones algebroides de oo-Lie está en este artículo de Jonathan Block . Más recientemente, Marius Crainic está estudiando estas estructuras bajo el nombre de Representaciones hasta la homotopía de los algebroides de Lie .

Lo llames como lo llames, siempre existe el cociente débil del algebroide de Lie con el que actúas, al igual que con los oo-grupoides de Lie, también conocidos como oo-pilas. El álgebra de Chevalley-Eilenberg de ese cociente débil es el tipo de complejo del que se trata aquí.

Answer 5

Esto es muy útil. El requisito de que la conexión sea plana es fundamental. Equivale al hecho de que el complejo de Rham es efectivamente un complejo. También es equivalente al hecho de que el anillo $D_M$ de operadores diferenciales en $M$ actúa sobre $E$ . Esto nos lleva a la teoría de los módulos D y al estudio algebro-geométrico de las ecuaciones diferenciales.