Prueba de la fórmula de adición de vectores

Question

Dos vectores de longitudes $a$ y $b$ hacer un ángulo $\theta$ entre sí cuando se colocan cola con cola. Demuestre que la magnitud de su resultante es : $$r = \sqrt{ a^2 + b^2 +2ab\cos(\theta)}.$$

Entiendo que si colocamos los dos vectores cabeza con cola en lugar de cola con cola, la Ley de los Cosenos dicta que la resultante sería: $$\sqrt{ a^2 + b^2 -2ab\cos(\theta)}$$

Sin embargo, en la situación realmente descrita, la dirección del vector $a$ se ha invertido, lo que cambia el signo de $2ab$ sin cambiar el signo de $a^2$ . Pero, ¿cómo puedo demostrarlo matemáticamente?

Answer 1

Tienes todo lo que necesitas.

Teorema: Vectores dados $a$ y $b$ encerrando un ángulo $\theta$ . Entonces la magnitud de la suma, $|a + b|$ viene dada por $\sqrt{ a^2 + b^2 +2ab\cos(\theta)}$ .

Prueba: Suponiendo que la Ley de los Cosenos funciona para un caso como el siguiente, donde $a$ y $b$ son las líneas gruesas. Las líneas finas son sólo espejos de los vectores.

http://chaos.stw-bonn.de/users/mu/uploads/2013-09-12/sp9.png

Si nuestros vectores se definen como acabo de decir, esto se mantiene: $$|a + b| = \sqrt{ a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta)}$$

Ahora posicionamos el vector $b$ a la cabeza de $a$ . Se ve así:

http://chaos.stw-bonn.de/users/mu/uploads/2013-09-12/sp10.png

Observe cómo es el ángulo ahora: $$\theta' = \pi - \theta$$

Y con $\cos(\pi - \theta) = - \cos(-\theta) = -\cos(\theta)$ conseguimos que $-$ -y se obtiene la fórmula $$|b - a| = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2ab\cos(\theta)}$$

q.e.d.