¿Pregunta no trivial sobre los números de Fibonacci?

Question

Estoy buscando una pregunta no trivial, pero no superdifícil, relativa a los números de Fibonacci. Debe ser de un nivel adecuado para un curso de grado.

Aquí hay un ejemplo (no tan bueno) del tipo de cosas que estoy buscando.

a) Demuestre que todo número entero positivo puede representarse en binario sobre la base de los números de Fibonacci. Es decir, demuestre que para todo $n$ existen bits $x_1,\ldots,x_k$ tal que $n = \sum_{i=1}^kx_iF_i$ .

b) Dé un algoritmo para incrementar dichos números en tiempo amortizado constante.

¿Alguna idea para mejorarlas?

Answer 1

El cuadro 2 y la prueba de la Proposición 1 en este documento es bastante interesante - muestran que los números de Fibonacci aparecen muy bien cuando se estudia la secuencia de Collatz.

Básicamente, el número de permutaciones de longitud $n$ obtenida a partir de la longitud- $n$ las subsecuencias son al menos Fibonacci $n$ con igualdad para $n \leq 14$ (!)

Answer 2

Pídeles que demuestren que los cocientes de la sucesión de Fibonacci tienden a la proporción áurea. Es decir $\frac{F_n}{F_{n-1}} \to \phi$ . Esto se puede hacer con un cálculo básico.