Aquí tienes algunas de las más chulas que he escuchado:
1) Dejemos que $a$ sea un número entero positivo. Entonces $a$ es un número de Fibonacci si y sólo si al menos un miembro del conjunto { $5a^{2}-4, 5a^{2}+4$ } es un cuadrado perfecto.
Creo que el resultado es original con el profesor Ira Gessel.
2) Dejemos que $\phi$ denotan la función totiente de Euler. Demostrar que $\phi(F_{n}) \equiv 0 \pmod{4}$ si $n \geq 5$ .
La prueba consiste en una aplicación inesperada del teorema de Lagrange en la teoría de grupos. Supongo que hay otras formas de demostrarlo, pero este enfoque siempre será de mi agrado. El problema fue planteado y resuelto en el Monthly en los años 70 (si mi memoria no me falla). Busca todas las entradas de Clark Kimberling en esa revista y seguro que lo encuentras.
3) ¿Puedes encontrar $(a,b,c) \in \mathbb{N}^{3}$ tal que $ 2 < a < b < c$ y $F_{a} \cdot F_{b} = F_{c}$ ?
Este problema sería trivial si en lugar del $\cdot$ que habíamos colocado un signo más allí. En cualquier caso, no hay que asustarse con esta propuesta. Lo único que hay que recordar es el correspondiente teorema del divisor primitivo .
4) Ben Linowitz mencionó anteriormente un hermoso resultado del profesor Florian Luca, a saber:
No hay números perfectos en la secuencia de Fibonacci.
Leí el documento en mi primer año y no me pareció tan difícil de seguir. La parte fácil de esta bonita nota reside en la demostración del hecho de que no hay números perfectos pares en la secuencia de Fibonacci. Supongo que este resultado es lo suficientemente interesante como para merecer ser considerado en esas conferencias que pretende dar. Si este propuesta no es exactamente su idea de emoción, puede echar un vistazo a algunos de los otros trabajos del profesor Florian. Él escribe un montón sobre las secuencias de recurrencia. Otro teorema suyo, estrechamente relacionado con el tema de esta discusión, establece que
No existe ningún grupo simple finito no abeliano cuyo orden sea un número de Fibonacci.
5) Por último, pero no menos importante... Demostrar que la secuencia { $F_{n+1}/F_{n}$ } $_{n \in \mathbb{N}}$ converge y utilizamos este hecho para derivar el desarrollo de la fracción continua para la proporción áurea.
Este debe ser conocido, pero sería bueno ver lo que sus estudiantes vienen con...
Añadido (20/11/2010) Acabo de darme cuenta de que el Asociación Fibonacci. ha puesto a disposición los artículos publicados en La revista Fibonacci Quarterly entre 1963 y 2003. Estoy seguro de que encontrará mucho material adicional entre esos archivos que tan generosamente han liberado para nuestro disfrute. Por ejemplo, se puede encontrar el artículo seminal de J. H. E. Cohn que K. Buzzard menciona a continuación ici .