criterio inverso al de epsilon delta

Question

Disculpe los errores. El inglés no es mi lengua materna y tengo esta clase en alemán, pero he intentado traducir mi pregunta porque así recibiré ayuda más rápido.

El llamado $\epsilon \delta$ El criterio (o la versión que aprendimos) es el siguiente: Si una función $f(x)$ es continua en $x_0$ , entonces para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ para que se aplique lo siguiente: $|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ .

Ahora mi pregunta es: Con una función dada, cuál sería la fórmula para obtener $\delta$ en relación (espero que la formulación sea algo correcta) con $x_0$ y $\epsilon$ ?

Si necesita una función de ejemplo: $f(x) = -11 x^2 + 13 x + 3$

Answer 1

No estoy seguro de haber entendido bien su pregunta. En general no hay una fórmula para $\delta$ porque depende de cualquier función $f$ y señalar $x_0$ con la que está trabajando. A veces $\delta$ puede incluso ser independiente de $\epsilon$ (por ejemplo, si $f$ es constante).

Para encontrar $\delta$ suele ser útil analizar $f$ y quizás simplificar $|f(x) - f(x_0)|$ en el caso concreto para tratar de encontrar una $\delta$ que funciona. Esto puede hacerse, por ejemplo, "resolviendo" la desigualdad resultante $|f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ para $x-x_0$ que te da $\delta$ .

Ejemplo:

Escojamos $f(x)= x^2 +2x +5$ y $x_0 =0$ . Entonces tenemos $|f(x)-f(x_0)| = |x^2 +2x|$ . Nótese que en este caso la condición $|x-x_0| < \delta$ da $|x|<\delta$ lo que simplifica un poco el problema. Resolver $x^2 + 2x = \epsilon$ para $x$ da $-1 + \sqrt{1+\epsilon}$ . Si elegimos $\delta := -1 + \sqrt{1+\epsilon}$ entonces $$|x|<\delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| = |x^2 +2x| \leq x^2 + 2|x| < \epsilon$$ donde la última desigualdad se deduce si se introduce $\delta$ para x y simplificar.

Tenga en cuenta que esta "solución" no siempre funciona y no es realmente sólida desde el punto de vista formal, ya que en algunos casos estoy ignorando los valores absolutos. Sin embargo, es un buen truco que te ayuda a encontrar un $\delta$ que luego puedes justificar adecuadamente mostrando por qué esa $\delta$ funciona como lo hice en la última ecuación.

Answer 2

Queremos resolver $$0<|x-x_0|<\delta\implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$ para $\delta$ .

Dejemos que $f^{-1}(S)$ donde $S$ es un conjunto denota el conjunto de todos los $x$ que se asignan a un valor en $S$ por $f$ :

$$f^{-1}(S)=\{x:f(x)\in S\}.$$

Ahora dejemos que $$S:=(f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon),\\ x_-:=\inf_{x\ne x_0}(f^{-1}(S)),\\x_+:=\sup_{x\ne x_0}(f^{-1}(S)).$$

Si estos valores existen, entonces

$$\delta=\min(x_0-x_-,x_+-x_0)$$ es una solución.

La fórmula ampliada es

$$\delta=\min(x_0-\inf_{x\ne x_0}(f^{-1}((f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon))),\sup_{x\ne x_0}(f^{-1}((f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)))-x_0).$$

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Nótese que hay un caso muy interesante, cuando $f$ es invertible, ya que la fórmula se reduce a

$$\delta=\min(x_0-f^{-1}(f(x_0)-\epsilon),f^{-1}(f(x_0)+\epsilon)-x_0)$$ si $f$ está creciendo, o $$\delta=\min(x_0-f^{-1}(f(x_0)+\epsilon),f^{-1}(f(x_0)-\epsilon)-x_0)$$ de lo contrario. Basta con evaluar la inversa en dos puntos.

Answer 3

Quieres decir un general fórmula, en términos de $f(x), \varepsilon, $ y $x_0$ ? Interesante pregunta, pero dudo que se pueda hacer, porque por ejemplo, la función: $f(x) = x$ si $x$ es racional; $-x$ si $x$ es irracional, es continua en $x=0$ pero dudo que un fórmula nos encontrará lo que $\delta$ es: tendríamos que inspeccionar la función desde una perspectiva humana. Y, por supuesto, se pueden plantear ejemplos (mucho) más complicados que éste, en los que la función sigue siendo continua en $x_0.$