¿Divergencia de un campo vectorial?

Question

Para algún campo vectorial $F = f(x)i + g(y)j$ la divergencia en $\mathbb{R}^2$ se define por: $\frac{\partial {f}}{\partial {x}} + \frac{\partial {g}}{\partial {y}}$ .

¿Qué pasa si $f$ o $g$ no es diferenciable en ninguna parte? ¿Está definida la divergencia (o el rizo)? Si no está definida, ¿por qué es posible calcular el flujo? ¿No debería ser imposible calcular el flujo ya que el flujo es la suma de las divergencias infinitesimales (intuitivamente) que no están definidas?

Answer 1

La divergencia puede definirse para funciones menos diferenciables, utilizando la integración por partes contra $C_c^\infty$ funciones (por ejemplo $\int f div \phi = -\int \phi \nabla f$ , donde $f\in C_c^\infty$ es la función de prueba).