Masa y centro de masa del sólido

Question

Dejemos que $S$ sea la parte del sólido $z = 4 - x^2 - y^2$ donde $z$ $\geq 3$ y que $T$ sea el sólido encerrado por $S$ y el avión $z = 3$ . Supongamos que $T$ tiene una densidad constante igual a $1$ . Calcula la masa y las coordenadas del centro de masa de $T$ .

Así que para encontrar la masa resolví $$\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_3^4rdzdrd\theta = \pi$$ y luego encontró el $z$ coordenadas para que el centro de masa sea $$ \frac1\pi\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_3^4rzdzdrd\theta = \frac72$$ ¿Estoy en lo cierto hasta ahora? ¿Sería también correcto suponer que el centro de masa debe estar en el $z$ -para que el centro de masa tenga las coordenadas $(0,0,\frac72)$ ?

Por cierto, ¿es posible resolver esto usando sólo una integral doble, o hay que usar una integral triple?

Answer 1

La triple integral es la más fácil, creo. Tienes la condición $$4-r^2=z\ge3$$ De modo que $r\le1$ es su límite superior para $r$ . El límite inferior es claramente $0$ . Ahora para $z$ , se le dio que $3\le z\le4-r^2$ por lo que la integral de masa se convierte en $$m=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_3^{4-r^2}dz\,r\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^1(1-r^2)r\,dr=\left.2\pi\left(-\frac14\right)(1-r^2)^2\right|_0^1=\frac{\pi}2$$ Entonces $$m\bar z=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_3^{4-r^2}z\,dz\,r\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^1\frac12\left[(4-r^2)^2-9\right]r\,dr=\pi\left[\left(-\frac16\right)(4-r^2)^3-\frac92r^2\right]_0^1=\frac{5\pi}3$$ Así que $$\bar z=\frac{m\bar z}m=\frac{10}3$$ Y esto es entre $3$ y $4$ como debe ser. Su error radica en no tener el límite superior correcto para $z$ . $\bar x=\bar y=0$ porque cuando se hace el $\theta$ integrales, encontrará que $$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0$$

Answer 2

Sí es la forma correcta de resolver ya que por simetría el centro de masa se encuentra en $z$ ejes (no he comprobado el detalle del cálculo).

Sí, por supuesto, también podemos utilizar la integral doble o simple por el método del disco o de la cáscara.

Answer 3

Primero, el volumen:

Para los fijos $z \in [3,4]$ el trozo de $T$ se consigue arreglando $z$ es un círculo $x^2+y^2 \leq 4-z$ .

Su superficie es $\pi r^2$ , donde $r^2 = 4-z$ .

Ahora el cálculo del volumen es el siguiente: $$\int_3^4\pi\cdot(4-z)\ dz = \pi \cdot \left(4z-\frac{z^2}{2}\right)\bigg|_{z=3}^{z=4} = \pi\cdot((16-8)-(12-4.5)) = \frac{\pi}{2}$$

Segundo, el centro de masa:

Para cada rebanada su centro de masa es $(0,0,z)^T$ y la masa relativa es $\pi\cdot(4-z)$ .

Para calcular el centro de masa hacemos lo siguiente:

$$\frac{2}{\pi}\cdot\int_3^4\pi(4-z)\cdot(0,0,z)^T\ dz = \frac{2}{\pi}\left(0,\ 0,\ \pi\cdot\int_3^4(4-z)z\ dz \right)^T =\ldots = \frac{2}{\pi}\left(0,\ 0,\ \pi\cdot\frac{5}{3} \right)^T = \left(0,\ 0,\ \frac{10}{3} \right)^T $$

Algo así. Por supuesto, también podrías hacer el cálculo del volumen con la integral triple, así: $$\int_{z =3}^4\int_{\theta =0}^{2\pi}\int_{r =0}^\sqrt{4-z} r\ dr d\theta d z = \ldots$$

Y algo similar con el centro de masa (una vez más, cuidado con los límites de integración para $r$ ).