La dualidad entre $\ell^p$ y $\ell^q$

Question

Tengo el siguiente problema. Necesito demostrar que para una secuencia acotada (de secuencias) $\{a_n\}\subset \ell^q$ , de tal manera que $\lim_{n\to\infty} a^n_i = 0$ es decir, la secuencia converge por coordenadas a cero, se cumple lo siguiente para todo $x\in\ell^p$ :

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^\infty a^n_i x_i = 0 $$

Ahora mi primer intento fue utilizar la desigualdad de Hölder de la siguiente manera:

$$ \left| \sum_{i=1}^\infty a_i^n x_i \right| \leq \|a^n\|_q \|x\|_p $$

y luego mostrar que $\lim_{n\to\infty} \|a^n\|_q =0$ . Sin embargo, esto no tiene por qué ser cierto, tomemos por ejemplo la secuencia $\{e_n\}\subset \ell^q$ (donde como siempre $e_n = (0,0,\ldots,1,0,\ldots)$ con el 1 en el $n$ -), esta secuencia satisface nuestros supuestos de acotación y convergencia por coordenadas a cero, sin embargo la $\ell^q$ -normas sigue siendo 1 para cada $n$ . Entonces, ¿qué otras armas tenemos para atacar este problema?

Answer 1

Se quiere demostrar la convergencia de coordenadas y la acotación implica la convergencia débil. Así que para $x \in \ell^p$ tomar $\tilde{x}^n = (x_1,x_2, x_3, \ldots x_n, 0,0,0,\ldots)$ para ser el truncamiento después de $n$ términos, de manera que $\|x - \tilde{x}^n\|_p <\epsilon$ . Ahora

Dejemos que $f \in (\ell^q)^*$ sea el funcional correspondiente a $x$ es decir $f(y) = \sum y_ix_i$ . Llame a $f_n$ el funcional correspondiente a $\tilde{x}^n$ . Tenga en cuenta que $f(0)=0$ y así sucesivamente. Así que ahora tenemos $$|f(a^m)| \le |(f-f_n)(a^m)| + |f_n(a^m)|$$ $$\le \sum_{i=n+1}^\infty |a_i^mx_i| + \sum_{i=1}^n |a_i^m||x_i|$$ $$\le \|x-\tilde{x}^n\|_p \sup_{m} \|a^m\|_q+ \sum_{i=1}^n |a_i^m||x_i|.$$

Ahora toma $n$ grande para que el primer bit sea pequeño, entonces toma $m$ grande para eso $n$ para que la suma sea pequeña (lo que se puede hacer ya que es una suma finita y el $a_i^m \to 0$ .