¿Puede alguien explicarme por qué aparece este patrón al consolidar números dentro de las tablas de multiplicar a una sola cifra?

Question

Esto es algo que se me ocurrió hace un año mientras jugaba con los números en mi cabeza, lo compartí con un par de amigos que tampoco pudieron explicar por qué sucede, y desde entonces lo olvidé hasta hace poco.

Dos ejemplos de consolidación de un número a una sola cifra:

27 se convierte en 2 + 7 = 9, así que 27 se consolida a 9 .

47 se convierte en 4 + 7 = 11, entonces 11 se convierte en 1 + 1 = 2, así que 47 se consolida a 2 .

Bastante arbitrario, pero cuando aplicamos esto a las diferentes tablas de multiplicar surge un patrón para cada una de ellas, y los patrones muestran una simetría/correlación negativa muy interesante entre sí. También hay que tener en cuenta que, una vez completada, cada secuencia se repite infinitamente.

Un ejemplo de tabla con sus consolidaciones debajo:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...
2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6...

Bien, ese debería ser todo el pretexto necesario.
A continuación escribiré las principales secuencias con mis observaciones debajo.

Múltiplos de 0:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0...

(Los múltiplos de 0 siguen siendo el mismo número)

Múltiplos de 1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5...

(Los múltiplos de 1 ascienden por cada dígito)

Múltiplos de 2:
2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 1...

(Los múltiplos de 2 ascienden por los números pares, luego los números Impares)

Múltiplos de 3:
3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6...

(Los múltiplos de 3 ascienden por los múltiplos de 3 de una sola cifra)

Múltiplos de 4:
4, 8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2...

(Los múltiplos de 4 tienen dos secuencias alternas de números descendentes. Esto también puede ser visto como una secuencia ascendente, ascendiendo a través de números pares y luego números Impares, siempre saltando un número que lógicamente debería ser el siguiente)

Múltiplos de 5:
5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 1, 6, 2, 7...

(Los múltiplos de 5 tienen dos secuencias alternas de números ascendentes. Esto también puede ser visto como una secuencia descendente, descendiendo a través de números Impares y luego números pares, siempre saltando un número que lógicamente debería ser el siguiente)

Múltiplos de 6:
6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3...

(Los múltiplos de 6 descienden por los múltiplos de 3 de una sola cifra)

Múltiplos de 7:
7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9, 7, 5, 3, 1, 8...

(Los múltiplos de 7 descienden por los números Impares, luego los números pares)

Múltiplos de 8:
8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4...

(Los múltiplos de 8 descienden por cada dígito)

Múltiplos de 9
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9...

(Los múltiplos de 9 siguen siendo el mismo número)

Este es el final de nuestro patrón de secuencias. Los más observadores habrán detectado las correlaciones negativas entre secuencias que he mencionado antes.

0 con 9
1 con 8
2 con 7
3 con 6
4 con 5

Estas secuencias son un reflejo unas de otras. Si continuamos nuestras secuencias con tablas más altas, obtendremos exactamente los mismos patrones repitiendo cada 9 múltiplos.

Ej.
9 con 18
10 con 17
11 con 16
12 con 15
13 con 14

La única anomalía es 0 por su naturaleza, siempre da 0 .
9 siempre dará 9 .
18 siempre dará 9 .
27 siempre dará 9 etc.

Estos son los únicos múltiplos que no tienen una correlación negativa con su contraparte, sino una correlación positiva.

Por último, ¿alguien puede explicarme por qué encontramos estos patrones? No he encontrado absolutamente ninguna mención a esto en internet cuando he buscado, creo que por lo arbitraria que es la pregunta, pero debe haber un razonamiento sólido de por qué sucede así. Gracias por su tiempo.

( Una última nota a pie de página para los interesados, he probado esto con los números primos para ver si podía encontrar un patrón pero sin éxito, aquí están algunos de ellos: )

2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, 4, 1, 5, 7, 2, 8, 5, 7, 4, 8...

Answer 1

$\color {green}{\text{ Definition :}}$

Lo que quiere decir es encontrar el Raíz digital de los números . Calculamos las raíces digitales mediante la suma repetida de los dígitos de un número hasta llegar a un único valor .

La forma más matemática de ver las raíces digitales es definirlas como el resto de un número $\mod 9$ . (en Base $10$ )

Por ejemplo.

$$47=4+7=11=1+1=2$$ lo que equivale a

$$\color{blue}{47 \,\equiv \,2\mod 9}$$

$\color{red}{ \text { Patterns in the numbers:}}$

• Múltiplos de 1:

  • Está claro que en cada múltiplo que se añade $1$ , para conseguir otros . Por lo tanto, el orden aumenta de $1$ à $9$ y luego llega de nuevo a $1.$

• Múltiplos de 2:

  • Está claro que en cada múltiplo que se añade $2$ , para conseguir otros . Por lo tanto, el orden aumenta de $2$ à $8$ con un paso de $2$ y luego llega a $1.$ y de nuevo continúa con un paso de $2$ .

• Múltiplos de 3:

  • Está claro que en cada múltiplo que se añade $3$ , para conseguir otros . Por lo tanto, el orden aumenta de $3$ à $9$ con un paso de $3$ y luego llega de nuevo a $3.$

• Múltiplos de 4:

  • En caso de $4$ , se añade $4$ o en términos de aritmética modular, se suma $-5 \quad (\, 4\, \equiv -5 \, \equiv \mod 9)$ . Por lo tanto, el orden disminuye de $4$ à $8$ à $3$ con un paso de $-5$

• Múltiplos de 5:

  • En caso de $5$ , se añade $5$ o en términos de aritmética modular, se suma $-4 \quad (\, 5\, \equiv -4 \, \equiv \mod 9)$ . Por lo tanto, el orden disminuye de $5$ à $1$ à $6$ con un paso de $-4$

  • Múltiplos de 6:

  • En caso de $6$ , se añade $6$ o en términos de aritmética modular, se suma $-3 \quad (\, 6\, \equiv -3 \, \equiv \mod 9)$ Por lo tanto, el orden disminuye de $6$ à $3$ à $9$ con un paso de $-3$

• Múltiplos de 7:

  • En caso de $7$ , se añade $7$ o en términos de aritmética modular, se suma $-2 \quad (\, 7\, \equiv -2 \, \equiv \mod 9)$ . Por lo tanto, el orden disminuye de $7$ à $5$ à $3$ con un paso de $-2$

• Múltiplos de 8:

  • En caso de $8$ , se añade $8$ o en términos de aritmética modular, se suma $-1 \quad (\, 8\, \equiv -1 \, \equiv \mod 9)$ . Por lo tanto, el orden disminuye de $8$ à $7$ à $6$ con un paso de $-1$ .

• Múltiplos de 9:

  • Para $9$ es trivial ver que como todos los términos son divisibles por $ 9 $ las raíces digitales serían $9$ sólo.

Algunos enlaces útiles :

• Teoría de los números

• Aritmética modular