Para cualquier conjunto X, sea S X sea el grupo simétrico en X, el grupo de permutaciones de X.
Mi pregunta es: ¿Puede haber dos conjuntos no vacíos X e Y con diferentes cardinalidades, pero para los que S X es isomorfo a S Y ?
Ciertamente no hay finito ejemplos, ya que el simétrico sobre n elementos tiene n! muchos elementos, por lo que los grupos grupos simétricos finitos se distinguen por su tamaño.
Pero no se puede hacer un argumento tan fácil en el infinito ya que el tamaño de S X es 2 |X| , y la función exponencial en la aritmética cardinal no es necesariamente uno a uno.
Sin embargo, en algunos contextos de teoría de conjuntos, todavía podemos el argumento fácil. Por ejemplo, si se cumple la Hipótesis del continua generalizada, entonces la respuesta a la pregunta es No, por la misma razón que en el caso finito, ya que los grupos simétricos infinitos se caracterizan por su tamaño. De forma más general, si κ < λ implica 2 κ < 2 λ para todos cardinales, (en otras palabras, si la función exponencial es uno a uno, un debilitamiento de la GCH), entonces de nuevo S κ no es isomorfo a S λ ya que tienen diferentes cardinalidades. Por lo tanto, una respuesta negativa a la pregunta es consistente con ZFC.
Pero se sabe que es consistente con ZFC que 2 κ \= 2 λ para algunos cardinales κ < λ. En este caso, tendremos tener dos cardinales diferentes κ < λ, cuya correspondientes grupos simétricos S κ y S λ sin embargo, tienen la el mismo cardinalidad. Pero, ¿podemos seguir distinguir estos grupos como grupos de alguna otra manera (presumiblemente más teórica de grupos)?
El caso más pequeño de este fenómeno ocurre bajo el Axioma de Martin más ¬CH, que implica 2 ω \= 2 ω 1 . Pero también, si uno simplemente fuerza ¬CH sumando reales de Cohen sobre un modelo de GCH, entonces de nuevo 2 ω \= 2 ω 1 .
(Me interesa sobre todo lo que ocurre con AC. Pero si hay un contraejemplo curioso o raro que implique ¬AC, eso también podría ser interesante).
