¿Pueden ser isomorfos los grupos simétricos sobre conjuntos de distinta cardinalidad?

Question

Para cualquier conjunto X, sea S _X sea el grupo simétrico en X, el grupo de permutaciones de X.

Mi pregunta es: ¿Puede haber dos conjuntos no vacíos X e Y con diferentes cardinalidades, pero para los que S _X es isomorfo a S _Y ?

Ciertamente no hay finito ejemplos, ya que el simétrico sobre n elementos tiene n! muchos elementos, por lo que los grupos grupos simétricos finitos se distinguen por su tamaño.

Pero no se puede hacer un argumento tan fácil en el infinito ya que el tamaño de S _X es 2 |X| , y la función exponencial en la aritmética cardinal no es necesariamente uno a uno.

Sin embargo, en algunos contextos de teoría de conjuntos, todavía podemos el argumento fácil. Por ejemplo, si se cumple la Hipótesis del continua generalizada, entonces la respuesta a la pregunta es No, por la misma razón que en el caso finito, ya que los grupos simétricos infinitos se caracterizan por su tamaño. De forma más general, si κ < λ implica 2 κ < 2 λ para todos cardinales, (en otras palabras, si la función exponencial es uno a uno, un debilitamiento de la GCH), entonces de nuevo S _κ no es isomorfo a S _λ ya que tienen diferentes cardinalidades. Por lo tanto, una respuesta negativa a la pregunta es consistente con ZFC.

Pero se sabe que es consistente con ZFC que 2 κ \= 2 λ para algunos cardinales κ < λ. En este caso, tendremos tener dos cardinales diferentes κ < λ, cuya correspondientes grupos simétricos S _κ y S _λ sin embargo, tienen la el mismo cardinalidad. Pero, ¿podemos seguir distinguir estos grupos como grupos de alguna otra manera (presumiblemente más teórica de grupos)?

El caso más pequeño de este fenómeno ocurre bajo el Axioma de Martin más ¬CH, que implica 2 ω \= 2 ω ₁ . Pero también, si uno simplemente fuerza ¬CH sumando reales de Cohen sobre un modelo de GCH, entonces de nuevo 2 ω \= 2 ω ₁ .

(Me interesa sobre todo lo que ocurre con AC. Pero si hay un contraejemplo curioso o raro que implique ¬AC, eso también podría ser interesante).

Answer 1

Según el teorema de Schreier-Ulam-Baer, los subgrupos normales no triviales de $S(X)$ son (i) el subgrupo $S_\mathrm{fin}(X)$ de permutaciones de $X$ de soporte finito, (ii) el subgrupo $A_\mathrm{fin}(X)$ de $S_\mathrm{fin}(X)$ de permutaciones pares, y (iii) para cada cardenal $\kappa$ los subgrupos $S_{<\beta}(X)$ y $S_{\leq\beta}(X)$ de permutaciones que se mueven estrictamente menos que $\beta$ puntos y como máximo $\beta$ puntos, respectivamente.

Dado que, como has dicho, un cardinal está determinado por el tipo de orden del conjunto de cardinales que hay por debajo de él, mirando el entramado de subgrupos normales de $S(X)$ , entonces, te permite adivinar el cardinal de $X$ .

Answer 2

Lo siguiente parece más sencillo que las respuestas dadas anteriormente. Pido disculpas si esta respuesta (o una más sencilla) ya está en alguno de los enlaces y la he pasado por alto.

Afirmo que, para cualquier conjunto infinito $X$ la cardinalidad $|X|$ puede obtenerse a partir del grupo simétrico Sym $(X)$ como la menor cardinalidad de cualquier clase de conjugación que no sea la clase trivial $\{1\}$ . En primer lugar, existe una clase de conjugación de tamaño $|X|$ por ejemplo, la clase de aquellas permutaciones que sólo intercambian dos elementos de $X$ mientras se arregla todo lo demás.

Ahora el punto principal: Supongamos que $C$ es una clase de conjugación no trivial. Consideremos cualquier elemento $\pi$ de $C$ y cualquier elemento $x\in X$ movido por $\pi$ . (Tal $x$ existe como $C$ no es la clase trivial). Para cualquier elemento $y\in X-\{x\}$ , considere la permutación que envía $\pi(x)$ y $y$ entre sí y arregla todo lo demás (incluyendo, en particular, $x$ ). Entonces $\sigma\pi\sigma^{-1}$ (también conocido como $\sigma\pi\sigma$ ) es un conjugado de $\pi$ que envía $x$ à $y$ . Así que el $|X|$ diferentes posibles $y$ 's nos dan $|X|$ diferentes conjugados de $\pi$ . Por lo tanto, $|C|\geq|X|$ como se ha reclamado.

Observación: Aquí he utilizado el axioma de elección dos veces, primero para decir que el número de pares de $X$ es $|X|$ y, en segundo lugar, decir que el número de posibles $y$ 's también es $|X|$ . (El segundo hecho se deduce fácilmente del primero.) No sé si el resultado se mantiene en ausencia del Axioma de Elección.

Answer 3

En un antiguo trabajo con Saharon Shelah, demostré que si κ < λ, entonces Sym(λ) no se incrusta en Sym(κ). La prueba se basa en los resultados de un artículo aún más antiguo con John Dixon y Peter Neumann. Los artículos relevantes son:

Saharon Shelah y Simon Thomas, Subgrupos inverosímiles de grupos simétricos infinitos. Bull. London Math. Soc. 20 (1988), no. 4, 313--318.

John D. Dixon, Peter M. Neumann y Simon Thomas, Subgrupos de índice pequeño en grupos simétricos infinitos. Bull. London Math. Soc. 18 (1986), no. 6, 580--586.

Answer 4

Véanse los ejercicios 4.6.5 - 4.6.8 en Dummit & Foote, 3ª edición. En particular, el teorema de Schreier-Ulam no es necesario.

Steve

Answer 5

He encontrado una solución que sólo requiere algo de combinatoria básica, y no utiliza el axioma de elección en absoluto; me sorprende que nadie más haya publicado algo similar.

Supongamos que $X$ no es finito, ya que podemos manejar ese caso fácilmente.

Las transposiciones en $S_X$ pueden distinguirse de la siguiente manera: Son la clase de conjugación $T$ formado por elementos de orden 2 con la propiedad de que el conjunto de productos de pares de elementos de $T$ no contiene más de una clase de conjugación de orden 2. Para ver que ninguna otra clase de conjugación satisface esta propiedad, observe que para cualquier producto $s$ de al menos dos transposiciones disjuntas (incluso posiblemente infinitas), se puede seleccionar un subconjunto de dos de ellas e intercambiar dos de las letras para obtener $s'$ tal que $ss'$ es un producto de exactamente dos transposiciones disjuntas (utilizando el grupo Klein 4 en $S_4$ ). Si $s$ es un producto de exactamente 2 o 3 transposiciones entonces podemos multiplicar por un producto disjunto de 2 o 3 transposiciones para obtener otra clase de conjugación. Si s es un producto de 4 o más transposiciones, entonces podemos seleccionar otras dos transposiciones en s para obtener $s''$ tal que $ss''$ es un producto de exactamente cuatro transposiciones disjuntas.

A continuación pretendemos caracterizar las letras como clases de equivalencia de pares de elementos de $T$ que se multiplican a un elemento de orden 3, por lo que el par $\{(a, b), (b, c)\}$ distingue $b$ . Necesitamos describir la relación de equivalencia de estos pares. Podemos expresar la transposición $(a, c)$ como conjugado de un elemento del par por el otro. Por lo tanto, cuando tenemos otro par $\{(a', b'), (b', c')\}$ podemos expresar la condición de que $\{a, c\}$ es disjunta de $\{a', c'\}$ . En este caso decimos que los dos pares están relacionados si al multiplicar dos de las cuatro transposiciones se obtiene un elemento de orden 3. Entonces tomamos el cierre transitivo de esa relación.

Así que hemos construido un conjunto a partir del grupo abstracto $S_X$ que está en biyección natural con $X$ . Obsérvese que el argumento que distingue $T$ funciona cuando $|X| \ge 12$ y el argumento que caracteriza la relación de equivalencia funciona cuando $|X| \ge 7$ . Probablemente haya una forma inteligente de adaptar ambos argumentos para un menor número de elementos; esto es sólo lo que se me ha ocurrido. Nótese que las transposiciones no se pueden distinguir en $S_6$ .