Dejemos que $f, g \in L^2(\mathbb{R})$ .
¿Es cierto que si ambos $|f|=|g|$ et $|\hat f|=|\hat g|$ se mantiene, entonces existe $\theta \in \mathbb{R}$ tal que $f=ge^{i\theta}$ ?
No puedo probarlo ni refutarlo. Sospecho que es cierto. ¿Tiene alguna referencia de esto?
Esto es cierto. Esto fue demostrado por Hardy y Littlewood y la prueba se reproduce en las Series Trigonométricas de Zygmund (a las que no tengo acceso en este momento).
(Contradiciendo mi "respuesta" anterior)
La respuesta a esta pregunta es negativa. Tales contraejemplos se conocen como "parejas de Pauli" y se estudian, entre otros lugares, en la literatura de la mecánica cuántica.
Véase, por ejemplo:
(J. V. Corbett y C. A. Hurst) ¿Están las funciones de onda determinadas únicamente por sus distribuciones de posición y momento? [https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/228E4A34D0B3C63C54B1A01006278C42/S0334270000001569a.pdf/are-wave-functions-uniquely-determined-by-their-position-and-momentum-distributions.pdf]
(P. Jaming) Técnicas de recuperación de fase para problemas de ambigüedad en el radar [https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.521.4906&rep=rep1&type=pdf]
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