Probando $\pi$ es irreducible/prima en $R.$

Question

¿Puedo recibir comentarios sobre mi prueba o ayuda para probar el siguiente problema en el que estoy trabajando? Gracias por su tiempo y ayuda.

Denote $R$ como el anillo de enteros algebraicos en un campo cuadrático imaginario y considerar $R$ a UFD. Dejemos que $P$ sea un ideal máximo/primo en $R$ y que $\pi \in P$ sea un elemento de norma mínima. Estoy tratando de demostrar $\pi$ es irreducible/prima en $R.$

$\textit{Proof.}$ Dado $R$ es un anillo de enteros algebraicos en campo cuadrático imaginario y $R$ es UFD. Supongamos que $P$ es un ideal maximalista y dejemos que $\pi \in P$ sea un elemento de norma mínima. Podemos escribir $\pi = \pi_1\pi_2,$ donde $\pi_1,\pi_2 \in R.$ Así que, $N(\pi) = N(\pi_1)N(\pi_2)$ ya que la norma $N( )$ es multiplicativo. Como todo ideal maximal es idea prima, entonces $\pi_1 \in P$ o $\pi_2 \in P$ así que $N(\pi)$ es mínimo si $N(\pi_1) = 1$ o $N(\pi_2) = 1$ entonces $\pi_1$ es la unidad o $\pi_2$ es la unidad, por lo que $\pi$ es irreducible.

A continuación, supongamos que $P$ es un ideal primo, entonces $P$ es un ideal maximal porque todo ideal primo en un anillo de enteros algebraicos es maximal. Entonces $\pi$ es irreducible y $\pi$ es primordial porque en UFD, $\alpha$ es primo si y sólo si $\alpha$ es irreducible.

Answer 1

Esa es la idea correcta. En general, utilizando la misma idea, en cualquier ámbito $D$ Supongamos que $\,0\neq b\in P$ primo, y supongamos que $\,b\,$ tiene una factorización $\,a_1\cdots a_n\,$ en átomos (irreds) $\,a_i.\,$ Desde $P$ es primo algún $\,a_i \in P.\,$ Por lo tanto, si más $\,b\,$ es un elemento de $P$ mínimo con respecto a la divisibilidad, entonces $\,a\,$ debe ser un átomo (así que primo si $D$ es un UFD). Así que $D$ a UFD $\Rightarrow$ los ideales primos pueden ser generados por los primos. El lo contrario también es cierto es decir, los UFD son exactamente aquellos dominios cuyos ideales primos pueden ser generados por primos.