Prueba $3^n > 2^n + n^2$ por Inducción

Question

Demostrar que $3^n > 2^n + n^2; \forall n \ge 2$ utilizando la inducción.

Caso base: $n=2$

$$3^2 > 2^2 + 2^2 \implies 9 > 8$$

Paso inductivo:

$$\text{If } 3^k > 2^k + k^2; \forall n \ge 2 \text{ Then } 3^{k+1} > 2^{k+1} + (k+1)^2$$

Así que,

$$3^{k+1} = 3*3^k > 3(2^k + k^2) \text{ // By our inductive hypothesis}$$ $$= 3*2^k + 3k^2 > 2*2^k + 3k^2$$ $$=2^{k+1} + 3k^2 > 2^{k+1} + (k+1)^2 \text{ // How to show?}$$

Mi pregunta:

Siento que sé intuitivamente que $3k^2 > (k+1)^2$ ; $\forall n \ge 2$ pero ¿hay una forma mejor de mostrar esto? ¿O una mejor manera de concluir mi prueba en general? Gracias por cualquier ayuda que la comunidad pueda dar :)

Answer 1

$$3k^2=k^2+k^2+k^2>k^2+k\cdot k+1\geq k^2+2k+1,$$ desde $k\geq 2$ .