$k$ es el submódulo cíclico generado por $e + x\mathfrak{m}$

Question

$(R, k, \mathfrak{m})$ es un anillo local noetheriano.

Consideremos una breve secuencia exacta de $R-$ módulos

$0 \to k \xrightarrow{\alpha} B \to C \to 0$

en el que $\alpha(1) = e,$ donde $e \in B - \mathfrak{m}B$ . En particular, cuando $B = \mathfrak{m}/x\mathfrak{m}$ y $k$ es el submódulo cíclico generado por $e + x\mathfrak{m}$ . Aquí $x \in \mathfrak{m} - x\mathfrak{m}^2$ es un divisor no nulo.

No estoy seguro de cómo $k$ es el submódulo cíclico generado por $e + x\mathfrak{m}$ . Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Tenemos $k=R/\mathfrak{m}$ Así que para todos $m\in \mathfrak{m}$ tenemos $1{m}=0$ . Así, para todos los $m\in \mathfrak{m}$ que tenemos: $$em=\alpha(1)m=\alpha(1m)=\alpha(0)=0.$$

Así, $\langle e\rangle$ está bien definido como un espacio vectorial sobre $R/\mathfrak{m}=k$ . Sin embargo, es generado por un solo elemento por lo que debe ser $k$ o $\{0\}$ . No puede ser $\{0\}$ por la exactitud de los e.e.s. por lo que tenemos $\langle e\rangle=k$ .