Quiero resolver la ecuación $$(5 x-4) \cdot\sqrt{2 x-3}-(4 x-5)\cdot \sqrt{3 x-2}=2.$$ Lo he intentado. Poner $a = \sqrt{2 x-3}\geqslant 0$ y $b =\sqrt{3 x-2}\geqslant 0 $ . Supongamos que $$5x-4=m(2x-3)+n(3x-2)$$ entonces $m=\dfrac{2}{5}$ y $n=\dfrac{7}{5}$ . Por lo tanto, $$5x-4=\dfrac{2}{5}(2x-3)+\dfrac{7}{5}(3x-2)=\dfrac{2}{5}a^2 + \dfrac{7}{5}b^2.$$ Del mismo modo, tenemos $$4x-5=\dfrac{7}{5}a^2+\dfrac{2}{5}b^2.$$ El sistema de ecuaciones dado se escribe $$\begin{cases} \left (\dfrac{2}{5}a^2 + \dfrac{7}{5}b^2\right )a -\left (\dfrac{7}{5}a^2 + \dfrac{2}{5}b^2\right )b=2,\\ 3a^2 -2b^2=-5. \end{cases}$$ Equivalente a $$\begin{cases} 2(a^3-b^3)-7ab(a-b)=10,\\ 3a^2 -2b^2=-5. \end{cases}$$ Ahora, no puedo resolver el último sistema de ecuaciones. ¿Cómo puedo resolver la ecuación $$(5 x-4) \cdot\sqrt{2 x-3}-(4 x-5)\cdot \sqrt{3 x-2}=2$$ o resolver el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 2(a^3-b^3)-7ab(a-b)=10,\\ 3a^2 -2b^2=-5. \end{cases}$$
Respuestas
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Una solución "clásica":
1) Las condiciones para la existencia de radicales nos dan $x\geq \frac{3}{2}.$
2) La condición para la existencia de la igualdad $(5X-4)\sqrt{2x-3} >(4X-5)\sqrt{3x-2}$ danos: $x>2.$
3)Escribimos la ecuación en la forma $(5X-4)\sqrt{2x-3}-2=(4X-5)\sqrt{3x-2}$ y levantar un cuadrado: $$2x^3-3x^2-3x+6=4(5x-4)\sqrt{2x-3}$$
4) Nota $\sqrt{2x-3}=t>1 $ y en consecuencia $x=\frac{t^2+3}{2}.$
5) Obtenemos la ecuación en $t$ : $$t^6+6t^4-40t^3+3t^2-56t+6=0<=>(t-3)(t^5+3t^4+15t^3+5t^2+3t-2)=0$$
con la solución $t=3$ y luego $x=6.$
MPritch
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