Si $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$ es $f$ uniformemente continua en $[a,b]$ ?

Question

Si $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$ es $f$ uniformemente continua en $[a.b]$ ?

Desde $f$ es uniformemente continua en el intervalo abierto y $a$ , $b$ son puntos de acumulación del intervalo abierto, $f$ es continua en $a$ y $b$ . Sin embargo, me pregunto si $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ ? Mi profesor dijo que podemos utilizar el teorema de Tietze para extender la continua uniforme de un intervalo abierto a un intervalo cerrado. Sólo puedo demostrar que es continua en el intervalo cerrado.

Answer 1

Esto no es cierto. Considera:

$$f(x)=\begin{cases} 1 \text{ for } x\in (0,1]\\ 0 \text{ for } x=0\end{cases}$$

Sin embargo en tu comentario preguntas qué significa "las funciones continuas uniformes se extienden a los puntos de acumulación del dominio". Esto sólo significa que si $x$ es un punto de acumulación del dominio de $f$ entonces existe una única función uniformemente continua $\hat{f}$ en $\operatorname{dom}(f) \cup \{x\}$ tal que $\hat{f}\restriction\operatorname{dom}(f)=f$ .