Encuentra la expresión de : $ S_n =\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{i^4+i^2+1} $

Question

Quiero encontrar una fórmula para la suma de esta serie utilizando su término general. ¿Cómo hacerlo?

Serie $$ S_n = \underbrace{1/3 + 2/21 + 3/91 + 4/273 + \cdots}_{n \text{ terms}} $$

Término general

$$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{i^4+i^2+1} $$

Answer 1

Utilizando fracciones parciales, obtenemos $\dfrac{i}{i^4+i^2+1} = \dfrac{\tfrac{1}{2}}{i^2-i+1} - \dfrac{\tfrac{1}{2}}{i^2+i+1}$ .

Así, $S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}\dfrac{i}{i^4+i^2+1} = \dfrac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\dfrac{1}{i^2-i+1} - \dfrac{1}{i^2+i+1}$ .

Desde $(i+1)^2-(i+1)+1 = i^2+i+1$ Esta suma se eleva a $S_n = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{n^2+n+1}\right)$ .

Tomando el límite como $n \to \infty$ da $S = \dfrac{1}{2}$ .

Answer 2

Utiliza las fracciones parciales,

$$ \frac{i}{i^4+i^2+1} = \frac{1}{2(i^2-i+1)}-\frac{1}{2(i^2+i+1)} $$

Answer 3

Escríbelo:

$$ \begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i^4 + i^2 + 1} &=& \sum_{i=1}^\infty \left( \frac{2}{4i^2 - 4i + 4} - \frac{2}{4i^2 + 4i + 4}\right)\\ &=& \sum_{i=1}^\infty \left( \frac{2}{\Big(2i-1\Big)^2 + 3} - \frac{2}{\Big( 2i + 1\Big)^2 + 3}\right)\\ &=& \frac{2}{\Big( 2 - 1\Big)^2 + 3} + \sum_{i=1}^\infty \left( \frac{2}{\Big(2i+1\Big)^2 + 3} - \frac{2}{\Big( 2i + 1\Big)^2 + 3}\right)\\ &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray} $$

Answer 4

Set $$\color{blue}{a_k= \frac{1}{k^2 -k +1} \implies a_{k+1}= \frac{1}{(k+1)^2 -k } =\frac{1}{k^2+ k +1}} $$

Pero como $ (k^2 -k +1)(k^2 +k +1) =k^4 +k^2 +1$ que tenemos,

$$ a_{k+1} -a_k = \frac{1}{k^2 +k +1}- \frac{1}{k^2 -k +1} = \frac{2k}{(k^2 -k +1)(k^2 +k +1)} =\frac{2k}{k^4 +k^2 +1}$$

Entonces

$$a_n-a_0 = \sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1} -a_k=2\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{k^4 +k^2 +1} $$