Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial, dotado de dos normas $\|\,\|_1$ y $\|\,\|_2$ y denotar por $V_1$ y $V_2$ las respectivas terminaciones de $V$ . Si $$ \|v\|_1 \leq \|v\|_2, \textrm{ for all } v \in V, $$ entonces qué podemos decir sobre la relación entre $V_1$ y $V_2$ ? Si $\{v_n\}_n$ es una secuencia de Cauchy WRT $\|\,\|_2$ entonces debe ser una secuencia de Cauchy WRT $\|\,\|_2$ debido a la desigualdad. Además, si dos secuencias de Cauchy son WRT $\|\,\|_2$ , entonces son equivalentes WRT $\|\,\|_1$ . Esto nos da un mapa no necesariamente inyectivo $$ V_2 \to V_1. $$ ¿Es posible que este mapa no sea a veces surjetivo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Moudiz
Puntos
210
$\newcommand{nrm}[1]{\left\lVert {#1}\right\rVert}\newcommand{\norm}{\nrm\bullet}$ Sí, y sucede todo el tiempo. Por ejemplo, considere $V=P[0,1]$ el espacio vectorial real de las restricciones de las funciones polinómicas al intervalo $[0,1]$ con normas $\norm_2$ y $\norm_\infty$ . Está claro que $\nrm{p}_2\le \nrm{p}_\infty$ para todos $p\in P[0,1]$ . Con su procedimiento esta desigualdad da la incrustación tautológica de las terminaciones $(C[0,1],\norm_\infty)\hookrightarrow (L^2[0,1],\norm_2)$ . La imagen de esta incrustación es, por supuesto, un subespacio denso del codominio.
