En el texto del Álgebra de Lie de Humphreys, antes de realizar la descomposición del espacio de las raíces se requiere escoger un máximo toral del álgebra de mentira semisimple en cuestión. Por maximal, quiere decir que no está contenida propiamente en ninguna otra subálgebra toral.
¿Por qué la subálgebra toral $\mathfrak{h}$ ¿es máxima? ¿Qué falla si simplemente encontramos un elemento semisimple arbitrario $x$ del álgebra de mentira y el conjunto $\mathfrak{h}={\rm span}\{x\}$ ?
Lo que necesitamos a menudo es que la subálgebra total máxima sea autonormalización es decir, que coincide con la subálgebra de Cartan en el caso semisimple. Si no tenemos esto, entonces no tenemos una subálgebra de Cartan. Un ejemplo trivial sería tomar $\mathfrak{h}=0$ , como $0$ es una subálgebra toral (no contiene elementos nilpotentes no nulos).
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