Polinomios que tienen una raíz común con sus derivadas

Question

Esta es una pregunta que alguien me hizo hace un par de años. Recuerdo haber pasado uno o dos días pensando en ella, pero no conseguí resolverla. Puede que sea un problema abierto, en cuyo caso me interesaría saber en qué estado se encuentra.

Dejemos que $f$ sea un polinomio complejo de una variable. Suponiendo que $f$ tiene una raíz común con cada $f^{(i)},i=1,\ldots,\deg f-1$ ¿se deduce que $f$ es una potencia de un polinomio de grado 1?

actualización: como ha señalado Pedro, se trata efectivamente de una conjetura (lo que me hace sentir menos mal por no poder hacerlo). Pero aún queda la duda sobre su estado.

Answer 1

Esto se conoce como la conjetura de Casas-Alvero. Mira esto, por ejemplo:

https://arxiv.org/abs/math/0605090

Sin embargo, no estoy seguro de su estado actual.

Answer 2

El resultado más sólido en esta dirección del que he oído hablar es el teorema de Sudbery (que fue originalmente conjeturado por Popoviciu y Erdös).

Teorema. Dejemos que $P(z)$ sea un polinomio de grado $n\geq 2$ y que $\Pi(z)=\prod\limits_{k=0}^{n-1}P^{(k)}(z)$ donde $P^{(k)}$ es el $k$ derivada de $P$ . Entonces $\Pi(z)$ tiene exactamente una raíz distinta o $\Pi(z)$ tiene al menos $n+1$ raíces distintas.

Ver el documento original de Sudbery .