¿Puede alguien comprobar si mi razonamiento para esta prueba es válido o no?

Question

Ya he visto las otras preguntas sobre esta prueba. Sólo estoy probando un tipo de método diferente, aunque no estoy seguro de si es válido o no.

Contexto para la pregunta principal: Demostrar por inducción $2^n\gt n^3$ para $n\ge10$

Obviamente, el caso base funciona para n=10

$1024=2^{10}\gt1000=10^3$

La hipótesis de la inducción: Supongamos que $P_n$ es cierto $\rightarrow$ $2^n\gt n^3$

Quiero entonces demostrar que $2^{n+1}\gt (n+1)^3$

Ahora, usando la hipótesis de inducción:

$2^n\gt n^3$

multiplicar ambos lados por 2

$2^{n+1}\gt 2n^3$

Utilizando el hecho de que $n\ge10$ esto implica que $n^3\ge10n^2$

$2n^3=n^3 +n^3\gt n^3 +10n^2=n^3 +3n^2 +7n^2$

Utilizando el hecho de que $7\gt 1$ esto implica que $7n\gt n$ ya que n es positivo.

$n^3 +3n^2 +7n^2\gt n^3 +3n^2 +n^2$

Una vez más, utilizando $n\ge 10$ esto implica $n^2\ge 10n$

$n^3 +3n^2 +n^2\gt n^3 +3n^2 +10n=n^3 +3n^2 +3n+7n$

De nuevo $7\gt 1$

$n^3 +3n^2 +3n+7n\gt n^3 +3n^2 +3n +n$

Utilizando $n\ge 10$ una última vez

$n^3 +3n^2 +3n +n\gt n^3 +3n^2 +3n+10$

Desde $10\gt 1$

$n^3 +3n^2 +3n+10\gt n^3 +3n^2 +3n+1=(n+1)^3$

Así, mediante la cadena de desigualdades, he demostrado que $2^{n+1}\gt (n+1)^3$ .

QED

Perdón si hay algún error en mi razonamiento. Gracias por leer y comentar.

Answer 1

Está bien, pero creo que se puede ir más rápido.

Si quieres demostrarlo:

$$2n^3>(n+1)^3\Leftrightarrow 2>\left(\frac{n+1}{n}\right)^3=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3$$

Puedes hacerlo:

$$n\ge10\to\frac{1}{n}\le0.1\to \left(1+\frac{1}{n}\right)^3\le (1.1)^3=1.331<2$$

Answer 2

He aquí un método alternativo: tenemos en nuestro supuesto que $$2^n>n^3,\quad n\geq 10$$

Entonces considere $f(n) = 2^{n+1}-(n+1)^3$

$f(n) = 2\cdot 2^n-n^3-3n^2-3n-1$

$f(n)= (2^n-n^3)+(2^n-3n^2-3n-1)$

Dejemos que $g(n) = n^3-3n^2-3n-1\implies g(n) <2^n-3n^2-3n-1$ utilizando $2^n>n^3$

$g'(n) = 3n^2-6n-3 = 3(n^2-2n-1) =3[(n-1)^2-2] >0$ para $n\geq 10$

$g(10) = 693\implies g(n) >0,\quad n\geq 10$

Por lo tanto, $f(n)$ es la suma de dos funciones positivas de $n$ $\implies f(n)>0,\quad n\geq 10$ según sea necesario

Answer 3

Está bien, pero sería más fácil (tanto de hacer como de seguir) ir hacia adelante:

$(n+1)^3 = $$ n^3 + 3n^2 + 3n + 1 $$< n^3 + 3n^2 + 3n^2 + 3n^2 = $$ n^3 + 9n^2 < n^3 + n*n^2 = $$n^3 + n^3 =2n^3 $$ < 2*2^n = 2^{n+1}$