Cálculo de Kirby y movimientos locales

Question

Todo 3manifiesto orientable puede obtenerse a partir de la 3esfera haciendo una cirugía a lo largo de un enlace enmarcado. El teorema de Kirby dice que la cirugía a lo largo de dos enlaces enmarcados da lugar a variedades homeomórficas si y sólo si los enlaces pueden relacionarse mediante una secuencia de movimientos e isotopías de Kirby. Esto es bastante similar al teorema de Reidemeister, que dice que dos diagramas de enlace corresponden a enlaces isotópicos si y sólo si pueden relacionarse mediante una secuencia de isotopías planas y movimientos de Reidemeister.

Nótese, sin embargo, que los movimientos de Kirby, a diferencia de los de Reidemeister, no son locales: el segundo movimiento de Kirby implica el cambio del diagrama en la vecindad de un componente entero del enlace. En "On Kirby's calculus", Topology 18, 1-15, 1979 Fenn y Rourke dieron una versión alternativa del cálculo de Kirby. En su enfoque hay una familia contable de transformaciones permitidas, cada una de las cuales tiene el siguiente aspecto: sustituir a $\pm 1$ círculo enmarcado alrededor $n\geq 0$ hilos paralelos con los hilos retorcidos (en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, según el encuadre del círculo) y sin círculo. Obsérvese que esta vez las partes de los diagramas que se pueden cambiar son muy similares (sólo varía el número de hebras), pero aún así hay un número contable de ellas.

Me gustaría preguntar si esto es lo mejor que se puede hacer. En otras palabras, ¿puede haber un conjunto finito de movimientos locales para el cálculo de Kirby? Para ser más preciso, ¿existe una colección finita $A_1,\ldots A_N,B_1,\ldots B_N$ de diagramas de enredo enmarcados en el 2-disco tal que cualesquiera dos diagramas de enlace enmarcados que dan variedades homeomórficas están relacionados por una secuencia de isotopías y movimientos de la forma "si la intersección del diagrama con un disco es isotópica a $A_i$ y sustituirlo por $B_i$ "?

Recuerdo vagamente haber oído que la respuesta a esta pregunta es no, pero no recuerdo los detalles.

Answer 1

Hay un conjunto finito de movimientos locales. Por ejemplo, estos:

_{(fuente: <a href="https://www.dm.unipi.it/%7Emartelli/images/Kirby/moves.png" rel="nofollow noreferrer">unipi.it </a>)}

En la segunda fila, el número de hilos verticales rodeados es $n\leqslant 3$ a la izquierda y $n\leqslant 2$ en el movimiento correcto. Así que, efectivamente, son finitos. El movimiento de abajo a la derecha es simplemente el movimiento Fenn-Rourke (con $\leqslant 2$ hilos). La caja es un giro completo en sentido contrario a las agujas del reloj. También añadimos todos los movimientos correspondientes con $-1$ en lugar de $+1$ .

Podemos demostrar que estos movimientos generan los movimientos de Fenn-Rourke como sigue. Consideremos como ejemplo la jugada de Fenn-Rourke con 3 hilos:

_{(fuente: <a href="https://www.dm.unipi.it/%7Emartelli/images/Kirby/FR.png" rel="nofollow noreferrer">unipi.it </a>)}

Para generar este movimiento, primero construimos una cadena de nudos de 0 como sigue:

_{(fuente: <a href="https://www.dm.unipi.it/%7Emartelli/images/Kirby/chain1.png" rel="nofollow noreferrer">unipi.it </a>)}

A continuación, deslizamos los hilos verticales a lo largo de la cadena:

_{(fuente: <a href="https://www.dm.unipi.it/%7Emartelli/images/Kirby/chain2.png" rel="nofollow noreferrer">unipi.it </a>)}

Ahora basta con utilizar el movimiento Fenn-Rourke con 2 hilos, deslizar, y utilizar otro Fenn-Rourke con un hilo:

_{(fuente: <a href="https://www.dm.unipi.it/%7Emartelli/images/Kirby/chain3.png" rel="nofollow noreferrer">unipi.it </a>)}

Por último, itera este procedimiento 3 veces:

_{(fuente: <a href="https://www.dm.unipi.it/%7Emartelli/images/Kirby/chain4.png" rel="nofollow noreferrer">unipi.it </a>)}

y ya está. El mismo algoritmo funciona para el movimiento general Fenn-Rourke con $n$ hilos.

EDITAR He ampliado ligeramente la prueba y la he publicado en el arXiv como https://arxiv.org/abs/1102.1288

Answer 2

Si no te gustó mi primera respuesta, aquí tienes otra; de nuevo, cambiando ligeramente la pregunta. Esta respuesta se adapta mejor a la forma en que se utiliza el teorema de Kirby en topología cuántica. Consideremos el espacio KTG de grafos trivalentes orientados enmarcados, módulo de cuatro operaciones:

1. Cambiar la orientación de una arista
2. Eliminación de bordes.
3. La operación de descompresión - véase aquí por ejemplo.
4. Conecta la suma.

Dylan Thurston probado que KTG está finitamente generado por dos elementos: el tetraedro con sus dos posibles orientaciones de vértice.
Puedes realizar un deslizamiento de banda (Kirby II) descomprimiendo un KTG de dos maneras diferentes. El descomprimir es un movimiento local honesto. Una de las aplicaciones es que los deslizamientos de banda se convierten en un movimiento bien definido, tanto a nivel topológico (para los enlaces el deslizamiento de banda no está bien definido porque depende de cómo se junten el arco a deslizar, y el arco sobre el que se desliza), y de hecho incluso a nivel de diagramas de Jacobi.
La historia completa es un trabajo en curso de Bar-Natan y Dancso. Siguiendo la costumbre de Dror de la apertura matemática, publicaron un versión de borrador ( La máquina del retroceso ). Consulte la página 13 para saber cómo realizar una banda de deslizamiento con cremalleras.
Por lo tanto, mi respuesta esta vez es:

Sí, puedes realizar movimientos de Kirby a nivel local si te extiendes a KTG. Y quantum topológicamente, extender a KTG es probablemente conceptualmente lo correcto.

No conozco la imagen correspondiente en 4 dimensiones, aunque tengo mis fantasías.

Answer 3

Creo que la respuesta a su pregunta es sí EDITAR Si se permite que local signifique "local dentro de una superficie engrosada" o que se permitan movimientos locales entre enredos cuyos hilos pueden no formar parte del enlace de la cirugía. Así que mi respuesta es "sí a una versión ligeramente modificada de su pregunta".
Una idea es que el teorema de Kirby se desprende de tu presentación finita favorita del grupo de clases de mapeo (digamos una de Wajnryb), y que puedes traducir allí y de vuelta entre presentaciones de cirugía y desdoblamientos de Heegaard de $3$ -manifolds.
En una dirección, una clase de mapeo en una superficie de Heegaard $H\subset S^3$ es generada por las torsiones de Dehn, cada una de las cuales puede ser realizada por la cirugía a lo largo de la curva a lo largo de la cual se tuerce, o más bien la inclusión de esa curva en $S^3$ . Espesar $H$ a $H\times I$ y empujar cada curva a una altura diferente $H\times \{t_i\}$ . Incluya las curvas en $S^3$ y ahí está el enlace de tu cirugía. En la otra dirección, proyecta tu enlace de cirugía a lo largo de una superficie $H$ para que cada componente se convierta en una simple curva cerrada (el límite de una superficie Seifert engrosada del enlace proporciona una buena superficie), y se tiene la cirugía a lo largo de esa curva realizada como un montón de giros de Dehn, por lo tanto una clase de mapeo de $H$ .
Por el teorema de Reidemeister-Singer, dos desdoblamientos de Heegaard cualesquiera de un 3-manifold son establemente equivalentes, por lo que añadir un $\pm 1$ -desde la presentación de la cirugía es su primer movimiento local. Entonces, tienes todos los movimientos inducidos por las relaciones en tu presentación finita favorita del grupo de clases de mapeo. Escribe el lado izquierdo de la relación como un enlace enmarcado, el lado derecho como otro, ponlos iguales, y voilá. Pero no es bonito. EDITAR : Como comentó Ian Agol, estos últimos movimientos son locales dentro de una superficie engrosada, pero no necesariamente en una bola.
Puede encontrar fotos de los movimientos locales en Documento de Ning Lu o en El documento de Matveev y Polyak . En una dirección, como se demuestra en ambos documentos, los movimientos de Kirby generan estos movimientos. En la otra dirección, el hecho de que provengan de una presentación finita del grupo de clases de mapeo te dice que generan los movimientos de Kirby.
EDITAR : Si quieres movimientos locales en una bola, Matveev-Polyak da una presentación de maraña del grupo de clases de mapeo, y la Sección 5 te dice cómo traducir allí y de vuelta entre esto y una presentación de cirugía. A grandes rasgos, se eliminan las vecindades regulares de los filamentos cuyos puntos finales están en la parte inferior, y el cierre de platón de lo que queda es el enlace de cirugía. Un conjunto completo de movimientos locales entre tales enredos es la Figura 12-19 de ese trabajo. Construcciones muy similares aparecen, por ejemplo, en trabajos de Habiro. De todos modos, hay un conjunto completo de movimientos locales en una bola entre enredos, y un algoritmo claro y fácil para traducir allí y de vuelta de tales enredos a presentaciones de cirugía.