¿Los mayores compuestos de Mersenne con exponente primo?

Question

Entiendo que es un problema abierto si hay un número infinito de números compuestos de la forma $2^p-1$ avec $p$ de primera.

¿Es posible encontrar ejemplos de tales números que sean mucho mayores que el mayor primo de Mersenne conocido? ¿Cuál es el mayor conocido? Estaba pensando que, además de resolver el problema abierto, podría intentar demostrar que $2^{n^2+1}-1$ es primo sólo para un número finito de $n$ ya que tampoco se sabe si hay infinitas $n$ avec $n^2+1$ primo. ¿Existe algún conjunto conjeturalmente infinito de primos que sea fácilmente computable para el que $2^p-1$ ¿es siempre compuesto?

Answer 1

Es fácil encontrar números de Mersenne compuestos. Con la división de prueba encontré en sólo un par de minutos que

p = 100.000.223, 200.000.039, 400.000.043, 800.000.171, 1.600.000.091, 2.000.000.279

satisfacer $2p+1 | 2^p-1$ .

Desgraciadamente, javas BigInteger no admite números enteros mucho más grandes, así que me he detenido ahí.

Answer 2

Utilizando la función powmod autoprogramada en PARI/GP, obtuve :

? powmod
%50 = (b,n)->w=binary(b);x=2;for(j=2,length(w),x=x^2;if(w[j]==1,x=x*2);    x=compone
nt(Mod(x,n),2));x
? p=10^10;gefunden=0;while(gefunden==0,p=nextprime(p+1);print(p);v=0;q=1;  gef=0;w
hile((gef==0)*(v<1000),v=v+1;q=q+2*p;while(isprime(q)==0,q=q+2*p);  if(powmod(p,q)
==1,gef=1));if(powmod(p,q)==1,gefunden=1;print(p,"  ",q)))
10000000019
10000000033
10000000061
10000000069
10000000097
10000000103
10000000121
10000000141
10000000147
10000000207
10000000259
10000000277
10000000277  380000010527

Esto significa que $380,000,010,527|2^{10,000,000,277}-1$

Ejemplos aún más grandes :

100000000019  2263400000430047
1000000000169  608000000102753
1000000000000037  870000000000032191
100000000000000000151  2600000000000000003927