Un puzzle: Tres triángulos equiláteros de tamaño 3, 4 y 7 se tocan en una esquina. Las otras esquinas del triángulo de tamaño 4 están a 3 de una esquina de 3, y a 7 de una esquina de 7. ¿A qué distancia están las otras esquinas de 3 y 7?
La respuesta es 6. Tengo una prueba excesivamente complicada. ¿Puede alguien encontrar una prueba elegante?
El teorema de la hélice no parece ayudar.
Tengo una solución. Puede que no sea muy elegante, pero es factible y no demasiado difícil.
Uno de los ángulos iguales del triángulo de lados $(7,7,4)$ es $\alpha=\cos^{-1}(2/7)$ y uno de los ángulos iguales del triángulo de lados $(3,3,4)$ es $\beta=\cos^{-1}(2/3)$ . Si $\gamma$ sea el ángulo opuesto al lado desconocido del triángulo de lados $(7,3,a)(a$ desconocido), entonces, $\gamma=180-(\alpha+\beta)$ . Entonces, $$a^2=7^2+3^2-2\times7\times 3\cos \gamma=58+42\cos(\alpha+\beta)=$$ Ahora $\cos (\alpha+\beta)=2/7\times 2/3-15/21=-11/21\implies a^2=36\implies a=6$
Esta es una respuesta demasiado complicada comparada con la de @Samrat, pero habla de una interesante estructura subyacente en la configuración:
Un poco de búsqueda de ángulos muestra que $\angle APW \cong \angle ORY$ ; como las hipotenusas son congruentes, de hecho $\triangle APW \cong \triangle ORY$ para que $\overline{RY} \cong \overline{PW}$ . Igualmente, $\overline{SZ} \cong \overline{QX}$ .
Es importante que un poco más de búsqueda de ángulos muestra que $\overline{AR}\parallel\overline{BS}$ (con perpendicular común $\overline{AB}$ ), y podemos calcularlo de la siguiente manera:
$$\begin{align} |\overline{RS}|^2 &= |\overline{RT}|^2 + |\overline{ST}|^2 \\ &= |\overline{AB}|^2 + \left(\;|\overline{SZ}| - |\overline{RY}|\;\right)^2\\ &= c^2 + \left(\;|\overline{QX}| - |\overline{PW}|\;\right)^2 \\ &= c^2 + \left(\;\sqrt{b^2-\left(\frac{c}{2}\right)^2} - \sqrt{a^2-\left(\frac{c}{2}\right)^2}\;\right)^2 \qquad (\star) \end{align}$$
En este punto, podríamos sustituirlo por $a=3$ , $b=7$ , $c=4$ para concluir que $|\overline{RS}| = 6$ .
Al elaborar esto, esperaba discernir qué tienen de especial los valores $3$ - $7$ - $4$ que hace que el resultado sea un número entero. El hecho de que $a = b - c$ no parece especialmente clave en sí misma. Lo que parece importar es que, mientras $a^2-(c/2)^2$ y $b^2-(c/2)^2$ no son en sí mismos cuadrados, tienen la forma $m^2 p$ y $n^2 p$ (específicamente con $m = 1$ , $n= 3$ , $p = 5$ (Hmmmm...)) para que todos los radicales y fracciones en la forma expandida de $(\star)$ se van muy bien... y luego se combinan mágicamente con $c^2$ para dar un cuadrado perfecto.
Así que la pregunta es: ¿Qué tienen de especial los valores $1$ - $3$ - $5$ para $m$ - $n$ - $p$ ? Por ahora, lo dejaré como ejercicio para el lector.
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