Ejemplos de uso de la intuición física para resolver problemas matemáticos

Question

A los efectos de esta pregunta, una "intuición física" es una intuición que se deriva de su experiencia cotidiana de la realidad física. Su intuiciones sobre cómo el giro de una pelota afecta a su posterior rebote se considerarían intuiciones físicas.

Utilizar las intuiciones físicas para resolver un problema matemático significa que eres capaz de trasladar el problema matemático a una situación física en la que se tienen intuiciones físicas intuiciones físicas, y es capaz de utilizar estas intuiciones para resolver el problema. Un ejemplo posible de esto es utilizar tus intuiciones sobre el flujo de fluidos para resolver problemas relacionados con lo que ocurre en ciertos tipos de campos vectoriales.

Además de ser interesante por sí misma, espero que esta lista dé a la gente una idea de cómo y cuándo se pueden resolver problemas matemáticos de esta manera.

(En esencia, la pregunta trata de aprovechar la experiencia personal para resolver problemas matemáticos. El uso de intuiciones físicas para resolver problemas matemáticos es un caso especial).

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Estos dos Las preguntas de MO son relevantes. La primera tiene como objetivo identificar cuándo el uso de las intuiciones físicas es erróneo, mientras que la segunda parece ser una pregunta epistemológica sobre cómo el uso de la intuición física es insatisfactorio.

Answer 1

La primera y la segunda ley de la termodinámica permiten recuperar la desigualdad entre la media aritmética y la geométrica: Juntar n depósitos de calor idénticos con capacidad calorífica $C$ y las temperaturas $T_1,\ldots,T_n$ y dejar que alcancen una temperatura final $T$ . La primera ley de la termodinámica dice que $T$ es la media aritmética de los $T_i$ . La segunda ley de la termodinámica exige la no negatividad del cambio de entropía, que es

$$ Cn \, log(T/G) $$

où $G$ es la media geométrica. De ello se deduce que $T > G$ .

Creo que este argumento fue expuesto por primera vez por P.T. Landsberg (¡sin parentesco!).

Answer 2

Aquí hay una prueba del teorema del área de Pick $\mu(P)=i +{b\over2}-1$ "utilizando la intuición física": Supongamos que en el momento 0 se concentra una unidad de calor en cada punto de la red punto de la red. Este calor se distribuirá por todo el plano por conducción de calor por conducción de calor, y en el momento $\infty$ se distribuye por igual en el plano con densidad 1. En particular, la cantidad de calor contenida en $P$ será $\mu(P)$ . ¿De dónde procede esta cantidad de calor? Considere un segmento $e$ entre dos celosías de límite consecutivas consecutivos. El punto medio $m$ de $e$ es un centro de simetría de la red, por lo que en cada instante el flujo de calor es centralmente simétrico con respecto a $m$ . Esto implica que el flujo de calor total a través de $e$ es 0. Como consecuencia, la cantidad final de calor dentro de $P$ proviene del $i$ puntos interiores de la red y del $b$ puntos límite de la red. Para tener en cuenta esto último, orientar $\partial P$ para que el interior sea al izquierda de $\partial P$ . La cantidad de calor que va desde un punto de la red límite al el interior de $P$ es la mitad, menos el ángulo de giro de $\partial P$ en ese punto, medido en unidades de $2\pi$ . Dado que la suma de todos los ángulos de giro para un polígono simple se sabe que es una vuelta completa, llegamos a la fórmula fórmula.

Answer 3

Teorema: Toda permutación en $S_n$ es un producto de transposiciones.

Prueba: Si yo numero las copas del 1 al $n$ y las coloca en una fila sobre la mesa en un orden confuso, incluso un niño podría volver a poner las tazas en su orden natural intercambiando las tazas de dos en dos utilizando la mano izquierda y la mano derecha. QED

Aprendí este ejemplo de Ryan Kinser.

Answer 4

Polya's Inducción y analogía en matemáticas tiene un capítulo sobre esto, junto con algunos grandes ejemplos. No se trata sólo de que la intuición física influya en las matemáticas; es más bien una poderosa sinergia entre la intuición física y la matemática. Resumiré algo de esto:

1. Supongamos que tenemos dos puntos A y B en el mismo lado de alguna línea L en el plano. ¿Cuál es el camino más corto de A a L y luego a B? La solución es obvia una vez que reflejamos uno de los puntos (y su segmento del camino) a través de L. Esa solución parece complicada en abstracto, pero es muy intuitiva si imaginamos un rayo de luz reflectante y pensamos en mirar las cosas en un espejo.

2. Ahora supongamos que A y B están en lados diferentes de L, y que una partícula se mueve de A a B, y su velocidad es diferente en los dos lados de L. ¿Cuál es el camino más corto (en tiempo)? (Este problema es a un refractante rayo de luz como el anterior es a un que refleja rayo). Resulta que esto se puede resolver reduciéndolo a un problema físico que implica un sistema de pesos y poleas en equilibrio. No intentaré describirlo aquí, pero puede ser divertido intentar reinventarlo.

3. Ahora planteemos un problema matemático serio: ¿qué trayectoria plana minimiza el tiempo que tarda un objeto en desplazarse desde el punto A (en reposo) hasta el punto B, suponiendo una gravedad constante? (Este es el famoso problema de la "braquistócrona".) Por conservación de la energía, la velocidad del objeto en un punto de la curva sólo depende de su altura (definido en relación con su punto de partida y con respecto a la dirección de la gravedad). Así, nos vemos abocados a considerar que la luz se mueve en un medio refractante heterogéneo muy particular, en el que el índice de refracción depende de manera específica de la altura. Para encontrar la trayectoria de la luz, basta con aplicar la ley de la refracción a este medio para obtener una ecuación diferencial de la trayectoria, que podemos resolver.

La interacción entre la intuición matemática y la física es muy interesante en este caso. El primer problema es matemático, pero al intentar resolverlo, es natural establecer una analogía con la óptica. El segundo problema lo sugiere la óptica, pero lo resolvemos por analogía con la mecánica. El tercer problema es básicamente mecánico, pero lo resolvemos por analogía con la óptica, ¡y de hecho utilizamos la solución del segundo problema!

Answer 5

Para la intuición de la red eléctrica/aplicaciones a los paseos aleatorios, véase el pequeño y hermoso libro de Doyle y Snell http://arxiv.org/abs/math/0001057