Corolario del teorema de periodicidad de Bott, $\widetilde{K}(S^{2n+1}) = 0$

Question

En Hatcher's Paquetes vectoriales y teoría K , afirma el Teorema de la Periodicidad de Bott:

Teorema 2.11: El homomorfismo $\beta : \widetilde{K}(X) \longrightarrow \widetilde{K}(S^2X)$ , $\beta(a) = (H-1) \ast a$ es un isomorfismo para todos los espacios compactos de Hausdorff $X$ .

Sin embargo, como corolario de esto, afirma lo siguiente:

Corolario 2.12: $\widetilde{K}(S^{2n+1}) = 0$ y $\widetilde{K}(S^{2n}) \cong \mathbb{Z}$ generado por el $n$ -producto externo reducido $(H-1) \ast \cdots \ast (H-1)$ .

No entiendo cómo se deduce que $\widetilde{K}(S^{2n+1}) =0$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que $S^{2n+1} = S^2(S^{2n-1})$ Así que $\widetilde{K}(S^{2n+1}) \cong \widetilde{K}(S^2(S^{2n-1})) \cong \widetilde{K}(S^{2n-1})$ y por lo tanto

$$ \widetilde{K}(S^{2n+1}) \cong \widetilde{K}(S^{2n-1}) \cong \dots \cong \widetilde{K}(S^3) \cong \widetilde{K}(S^1).$$

Rango $n$ haces vectoriales complejos en $S^1$ se clasifican por $\pi_0(GL(n, \mathbb{C})) = \pi_0(U(n))$ por la construcción del embrague. Pero $U(n)$ es un camino conectado para cada $n$ por lo que todo haz vectorial complejo sobre $S^1$ es trivial. Por lo tanto, $K(S^1) \cong \mathbb{Z}$ y por lo tanto $\widetilde{K}(S^1) = 0$ .