¿Por qué es propia la restricción a un subconjunto abierto de un mapa regular de variedades proyectivas?

Question

En la página 59 de Geometría algebraica básica 1 Shafarevich hace la definición de que un mapa $f:X\rightarrow Y$ de las variedades cuasiproyectivas es adecuado si se trata de factores como

$$X\hookrightarrow\mathbb{P}^n\times Y\xrightarrow{\pi_2}Y$$

donde $\hookrightarrow$ es una incrustación cerrada y $\pi_2$ es la proyección al segundo factor.

Luego afirma que, por ejemplo, si $f:X\rightarrow Y$ es un mapa regular de variedades proyectivas y $U\subset Y$ está abierto, entonces $f$ La restricción de $f^{-1}(U)$ es apropiado.

Me cuesta ver por qué esto es un ejemplo. La forma obvia de factorizar $f$ a través de una incrustación en $\mathbb{P}^n\times U$ es incrustar $f^{-1}(U)\hookrightarrow X\hookrightarrow\mathbb{P}^n$ (ya que $X$ es proyectiva) en el primer factor, y el mapa por $f$ en el segundo factor. Pero esto parece que casi seguro que no será un cerrado incrustación.

¿Qué está pasando aquí?

Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, no es cierto en esta definición que $X$ tiene que ser proyectiva. (Esto será cierto si $Y$ es proyectiva, pero no es necesario que sea verdadera en caso contrario).

Ahora, para ver la afirmación, basta con observar que la intersección de $X$ (considerado como un subconjunto cerrado de $\mathbb P^n \times Y$ a través de la incrustación cerrada dada) con $\mathbb P^n \times U$ es precisamente $f^{-1}(U)$ para que, naturalmente, podamos considerar $f^{-1}(U)$ como subconjunto cerrado de $\mathbb P^n \times U$ . En otras palabras, tenemos una incrustación cerrada $$f^{-1}(U) \hookrightarrow \mathbb P^n \times U,$$ cuya composición con la proyección a $U$ es (la restricción de $f^{-1}(U)$ de) $f$ .

Esto es lo que se necesita para demostrar que $f^{-1}(U) \to U$ es apropiado. (Básicamente, la definición se ha establecido precisamente para que este tipo de argumento funcione. En términos más generales, el mismo argumento demostrará que cualquier cambio de base de $f$ a lo largo de un morfismo $Z \to Y$ sigue siendo adecuado).

Añadido: Es muy Aquí es importante que estemos restringiendo a un subconjunto abierto del objetivo (o, más generalmente, cambiando de base sobre un mapa al objetivo). La propiedad no se preserva ciertamente al restringir a un subconjunto abierto del origen (o al componer con un morfismo arbitrario hacia el origen). [Añadido sólo porque el título de la pregunta es un poco ambiguo en este punto, y así no estaba seguro de si el OP sabía lo importante que es esta distinción entre fuente y objetivo].