¿Problemas abiertos en la geometría euclidiana?

Question

¿Cuáles son algunos problemas abiertos (a nivel de investigación) en la geometría euclidiana?

(Edición: lo pregunto sólo por curiosidad, para entender cómo -y si- hoy en día esto no es un campo "muerto" todavía)

Debería aclarar un poco lo que entiendo por "geometría euclidiana". Con este término me refiero, a grandes rasgos, al estudio de la geometría de ciertos subconjuntos del espacio euclidiano $\mathbb{E}^n$ desde un punto de vista que es o bien el "clásico" (es decir, axiomático), o bien uno que implica herramientas más modernas, pero el problema en cuestión tiene pas ser "claramente" un problema dentro de alguna otra rama de las matemáticas, como la geometría diferencial o algebraica, la topología algebraica o general, el análisis o la teoría de la medida.

Algunos ejemplos para aclarar:

• el estudio de configuraciones de líneas o subespacios afines es EG; pero el estudio algebro-topológico de arreglos de hiperplanos no lo es.
• Las cónicas planas definidas a través de su propiedad métrica son objetos de EG; pero las "curvas algebraicas" no lo son, a menos que se definan mediante alguna "propiedad suficientemente elemental" (intencionadamente vaga) que implique la métrica euclidiana.
• Los sistemas de raíces de las álgebras de Lie son EG.
• Los conos poliédricos son EG.
• Los politopos son EG.
• Las teselaciones del espacio con politopos u objetos análogos están en EG.
• superficies mínimas en $\mathbb{E}^3$ no son EG.
• La geometría fractal (conjuntos Julia, fractales autoafines...) no es EG.
• No estoy seguro de los cuerpos convexos. Si son poliédricos diría que su estudio encaja en EG.
• Los paquetes de esferas son EG.

Answer 1

Le site Problema de la distancia de la unidad pregunta:

Para un conjunto de $n$ puntos en el plano, ¿cuál es el número máximo $g(n)$ de distancias unitarias realizadas entre los ${n \choose 2}$ ¿pares?

Una rejilla cuadrada correctamente escalada da un límite inferior de algo así como $g(n) \ge n^{1 + \frac{c}{\log \log{n}}}$ y una hermosa aplicación de la lema del número de cruce da que $g(n) = O(n^{4/3})$ .

Un problema estrechamente relacionado con el anterior en el que se han hecho grandes progresos es el problema de la Distancia Distinta, en el que se pide el número mínimo de $f(n)$ de distancias distintas entre $n$ puntos en el plano. (Claramente $f(n)g(n) \ge {n \choose 2}$ .)

Guth y Katz ha obtenido recientemente un exponente agudo para $f(n)$ . Terence Tao y János Pach escribió buenos resúmenes de esta obra.

Answer 2

El problema del final feliz ( https://en.wikipedia.org/wiki/Happy_Ending_problem ) dice que cualquier conjunto de cinco puntos del plano en posición general tiene un subconjunto de cuatro puntos que forman los vértices de un cuadrilátero convexo. De forma más general, Erdös y Szekeres demostraron que para cualquier número entero positivo $N$ hay un número entero mínimo $f(N)$ tal que cualquier conjunto de $f(N)$ puntos del plano en posición general tiene un subconjunto de $N$ puntos que forman los vértices de un polígono convexo, y se sabe que $f(N)$ es al menos $1+2^{N-2}$ .

Una pregunta abierta es: ¿se $f(N)=1+2^{N-2}$ ¿se mantiene?

Añadido en la edición: Como ha señalado Suvrit en un comentario, un avances recientes se ha publicado en el arXiv, mostrando que $f(N)=2^{N+o(N)}$ .

Answer 3

Número cromático del plano ou Problema de Hadwiger-Nelson pide el número mínimo de colores necesarios para colorear el plano de forma que no haya dos puntos a distancia $1$ entre sí tienen el mismo color. Sólo se sabe que $$5 ≤ \chi ≤ 7.$$

Answer 4

W. Wernick ha tabulado 139 problemas de construcción de triángulos utilizando una lista de dieciséis puntos asociados al triángulo. En cada caso se dan tres puntos y el objetivo es construir un triángulo para el que los tres puntos "especiales" de la lista sean los puntos dados. En la lista de Wernick quedan algunos problemas abiertos. Notación:

$A$ , $B$ , $C$ Tres vértices,

$M_a$ , $M_b$ , $M_c$ Tres puntos medios de los lados,

$H_a$ , $H_b$ , $H_c$ Tres pies de las altitudes,

$T_a$ , $T_b$ , $T_c$ Tres pies de las bisectrices de los ángulos internos,

$G$ , $H$ , $I$ , $O$ El centro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro.

Todos los problemas son se dividen en los siguientes cuatro tipos distintos:

$R$ - Redundante. Dada la ubicación de dos de los puntos del triple, se determina la ubicación del tercer punto se determina. Un ejemplo sería: $A$ , $B$ , $M_c$ .

$L$ - Locus restringido. Dada la ubicación de dos puntos, el tercero debe estar en un determinado lugar. Ejemplo: $A$ , $B$ , $O$ .

$S$ - Se puede resolver. Existen soluciones conocidas con regla y compás para estos triples.

$U$ - No tiene solución. Utilizando medios algebraicos, es posible demostrar que ninguna regla y compás existe para estos triples. Ejemplo: $O$ , $H$ , $I$ .

Actualización:

La lista de Wernick ha sido completada por Pascal Mathis y Pascal Schreck, véase Determinar automáticamente la brújula y la regla la incostructibilidad de los triángulos.

Answer 5

También podría airear esta pregunta (planteada por primera vez por Keith Ball) que tiene amplias ramificaciones en la geometría convexa en altas dimensiones si la respuesta es afirmativa:

Dejemos que $K$ sea un cuerpo convexo de simetría central en $\mathbb{R}^n$ y que $K^\circ$ sea el cuerpo polar o dual convexo. Definir un estadístico $e(K)$ como el valor esperado de $(\vec{x} \cdot \vec{y})^2$ , donde $\vec{x}$ se elige al azar entre $K$ y $\vec{y}$ se elige al azar entre $K^\circ$ . A continuación, para cada $n$ es $e(K)$ se maximiza cuando $K$ ¿es un elipsoide? La pregunta está incluso abierta en dos dimensiones.

Una conjetura mucho más débil es que la integral de $(\vec{x} \cdot \vec{y})^2$ en $K \times K^\circ$ a diferencia del valor medio, se maximiza cuando $K$ es un elipsoide. Se sabe que $K \times K^\circ$ tiene el mayor volumen cuando $K$ es un elipsoide; este hecho se llama desigualdad de Santaló.

Se sabe que la respuesta a la primera conjetura es no si $K$ no es centralmente simétrica, aunque el origen sea el único punto fijado por las simetrías de $K$ . (La simetría central significa específicamente que $K = -K$ .)